Kezdőlap


Cím:	Olimpiai előkészítő feladatok - 1981. - III.
Szerző(k):	Szikszai József
Füzet:	1981/május, 208. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ebben a rovatban havonta tíz-tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot fogunk elmondani, amelyek a Matematikai Diákolimpiára előkészítőül szolgálnak. A feladatok megoldását nem kérjük beküldeni, és a megoldásokat sem fogjuk ismertetni.
1. Melyik a nagyobb az alábbi két szám közül:

\begin{matrix} \sqrt[7]{7 + \sqrt[7]{7}} - \sqrt[7]{7}, \sqrt[7]{7} - \sqrt[7]{7 - \sqrt[7]{7}} \end{matrix}

2. Igazoljuk, hogy ha az

x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}

pozitív számok szorzata

1

, akkor

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{n} ≦ \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{n + 1} \end{matrix}

3. Határozzuk meg azokat az

m

n

természetes számokból álló számpárokat, amelyekre az

\begin{matrix} \frac{1 - sin^{2} n x}{1 - sin^{2} m x} = sin n x \end{matrix}

egyenletnek van valós megoldása.

4. Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n - 1} ctg \frac{k π}{n} \cdot cos^{2} \frac{k π}{n} = 0. \end{matrix}

5. Oldjuk meg a

\begin{matrix} {(2 x - 1)}^{n} + {(1 - x)}^{n} = x^{n} \end{matrix}

egyenletet, ha

n

adott természetes szám.

6. Határozzuk meg a

\begin{matrix} (2 - {cos}^{2} α_{1}) (2 - {cos}^{2} α_{2}) ... (2 - {cos}^{2} α_{n}) + {(cos α_{1} cos α_{2} ... cos α_{n})}^{2} \end{matrix}

kifejezés legnagyobb és legkisebb értékét, ha

n

adott természetes szám.

7. Igazoljuk, hogy a nemnegatív

a

b

c

d

számokra

\begin{matrix} (a + c) (b + d) (2 a + c + d) (2 b + c + d) ≧ 4 c d (2 a + c) (2 b + d) . \end{matrix}

8. Jelölje

n

db pozitív szám mértani közepét

M

k

-adik hatványközepét

H_{k}

(

k

természetes szám). Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} (n - 1) M^{n} ≦ {n H}_{n - 1}^{n - 1} \cdot H_{1} - H_{n}^{n} . \end{matrix}

9. Igazoljuk, hogy bármely

(n, k)

természetes számokból álló számpárhoz egyetlen olyan

f (n, k)

természetes szám van, amely kielégíti az

\begin{matrix} {(\sqrt[]{n + 1} + \sqrt[]{n})}^{k} = \sqrt[]{f (n, k) + 1} + \sqrt[]{f (n, k)} \end{matrix}

összefüggést.

10. Milyen

x

y

valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség?

\begin{matrix} \sqrt[3]{\frac{x^{3} + y^{3}}{2}} ≧ \sqrt[]{\frac{x^{2} + y^{2}}{2}} . \end{matrix}