Cím: Olimpiai előkészítő feladatok - 1981. - II.
Szerző(k):  Szikszai József 
Füzet: 1981/április, 167 - 168. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Ebben a rovatban havonta tíz-tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot mondunk el, amelyek a Matematikai Diákolimpiára előkészítőül szolgálnak. A feladatok megoldását nem kérjük beküldeni, és a megoldásokat sem fogjuk ismertetni.
 
1. Tekintsük a kocka csúcsain átmenő gömböt, az éleit érintő gömböt, valamint azt a gömböt, amely átmegy a kocka egyik csúcsán és érinti a szemben fekvő csúcsban találkozó éleket. Fejezzük ki az utóbbi gömb sugarát a másik két gömb sugarával.
 
2. Igazoljuk, hogy ha egy tetraéder két súlyvonala merőleges a szemközti lapra, akkor a tetraédernek legalább négy éle egyenlő hosszú.
 
3. Van-e olyan szabályos gúla, amelyben két szomszédos oldallap hajlásszöge egyenlő két szomszédos oldalél hajlásszögével?
 
4. Lehet-e egy szabályos gúla alaplapjának és oldallapjának a hajlásszöge egyenlő az (egy csúcsból induló) oldalél és alapél hajlásszögével?
 
5. Valamely háromoldalú szabályos gúla köré írt gömb átmérője 9-szerese a gúla alapjához tartozó magasságnak. Számítsuk ki két oldallap hajlásszögét.
 
6. Konvex, nem feltétlenül szabályos oktaéder tetszőleges lapjának a súlypontját kössük össze a tér adott P pontjával, majd húzzunk a kapott egyenessel párhuzamos egyenest a szemben fekvő lap súlypontján keresztül. Ilyen módon összesen 16 egyenest kaphatunk. Igazoljuk, hogy a P pontra nem illeszkedő 8 egyenes is átmegy a tér egy pontján.
 
7. Legyen az ABCD tetraéder DS súlyvonala merőleges az ABC alapra. Jelölje az alaplap egy belső P pontjának merőleges vetületeit az AD, BD, CD élekre A', B', C'. Igazoljuk, hogy az A'D+B'D+C'D összeg állandó.
 
8. Adott az egységsugarú gömbön az A1, A2,...,An nem feltétlenül különböző n db pont. Igazoljuk, hogy van a gömbfelületnek olyan P pontja, amelyre a
PA1+PA2+...+PAn
távolságösszeg legalább n.
 
9. Az n oldalú, egyenlő és adott oldalélű gúlák közül melyiknek a térfogata a lehető legnagyobb?
 
10. Bizonyítsuk be, hogy bármely tetraéder köré írt gömb átmérőjének kétszerese legalább akkora, mint a hat él négyzetösszegének a négyzetgyöke.