Cím:	Olimpiai előkészítő feladatok - 1981. - II.
Szerző(k):	Szikszai József
Füzet:	1981/április, 167 - 168. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Ebben a rovatban havonta tíz-tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot mondunk el, amelyek a Matematikai Diákolimpiára előkészítőül szolgálnak. A feladatok megoldását nem kérjük beküldeni, és a megoldásokat sem fogjuk ismertetni.   1. Tekintsük a kocka csúcsain átmenő gömböt, az éleit érintő gömböt, valamint azt a gömböt, amely átmegy a kocka egyik csúcsán és érinti a szemben fekvő csúcsban találkozó éleket. Fejezzük ki az utóbbi gömb sugarát a másik két gömb sugarával.   2. Igazoljuk, hogy ha egy tetraéder két súlyvonala merőleges a szemközti lapra, akkor a tetraédernek legalább négy éle egyenlő hosszú.   3. Van-e olyan szabályos gúla, amelyben két szomszédos oldallap hajlásszöge egyenlő két szomszédos oldalél hajlásszögével?   4. Lehet-e egy szabályos gúla alaplapjának és oldallapjának a hajlásszöge egyenlő az (egy csúcsból induló) oldalél és alapél hajlásszögével?   5. Valamely háromoldalú szabályos gúla köré írt gömb átmérője $9$-szerese a gúla alapjához tartozó magasságnak. Számítsuk ki két oldallap hajlásszögét.   6. Konvex, nem feltétlenül szabályos oktaéder tetszőleges lapjának a súlypontját kössük össze a tér adott $P$ pontjával, majd húzzunk a kapott egyenessel párhuzamos egyenest a szemben fekvő lap súlypontján keresztül. Ilyen módon összesen $16$ egyenest kaphatunk. Igazoljuk, hogy a $P$ pontra nem illeszkedő $8$ egyenes is átmegy a tér egy pontján.   7. Legyen az $ABCD$ tetraéder $DS$ súlyvonala merőleges az $ABC$ alapra. Jelölje az alaplap egy belső $P$ pontjának merőleges vetületeit az $AD$, $BD$, $CD$ élekre $A\text{'}$, $B\text{'}$, $C\text{'}$. Igazoljuk, hogy az $A\text{'}D+B\text{'}D+C\text{'}D$ összeg állandó.   8. Adott az egységsugarú gömbön az $A_1$, $A_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{A}_n$ nem feltétlenül különböző $n$ db pont. Igazoljuk, hogy van a gömbfelületnek olyan $P$ pontja, amelyre a $\begin{array}{c}{\displaystyle P{A}_1+P{A}_2+\text{...}+P{A}_n}\end{array}$ távolságösszeg legalább $n$.   9. Az $n$ oldalú, egyenlő és adott oldalélű gúlák közül melyiknek a térfogata a lehető legnagyobb?   10. Bizonyítsuk be, hogy bármely tetraéder köré írt gömb átmérőjének kétszerese legalább akkora, mint a hat él négyzetösszegének a négyzetgyöke.