Cím: 1979. Beszámoló az Eötvös Loránd Fizikai Versenyről
Szerző(k):  Károlyházy Frigyes ,  Radnai Gyula ,  Vermes Miklós 
Füzet: 1980/február, 81 - 84. oldal  PDF file
Témakör(ök): Eötvös Loránd (korábban Károly Irén)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat 1979. október 27-én rendezte 56. versenyét Budapesten és 11 vidéki városban az 1979-ben érettségizettek és középiskolai tanulók részére. A versenyzők 5 órai munkaidő alatt oldhattak meg három feladatot. Bármely segédeszköz használata megengedett ezen a versenyen, beleértve a zsebszámítógépet is. Összesen 300 dolgozat érkezett be. Ismertetjük a feladatokat és megoldásukat.

 

1. Egy súlyzó alakú űrállomás körpályán kering a Föld körül. (Hajtóműveit nem működteti.) Az űrállomás tengelye milyen helyzetben maradhat meg változatlanul a mindenkori pályasugárhoz képest?
 

 
1. ábra
 

Megoldás. Először helyezzük el az űrállomást a keringés síkjában a rádiuszhoz képest ferde szögben (1.b ábra). A közelebbi tömegre ható F1 erő nagyobb, mint a távolabbi tömegre ható F2 vonzóerő, azonkívül F2 erőkarja is kisebb. Olyan forgatónyomaték keletkezik, amely a rádiuszhoz közelíti a tömegeket. Így nincs egyensúlyi helyzet.
Ha a súlyzó a rádiusz irányában fekszik, nincs forgatónyomaték, az ilyen helyzet egyensúlyi helyzet, méghozzá stabilis. (Ha kibillentenénk az űrállomást ebből a helyzetéből, a fellépő forgatónyomaték a radiális helyzet felé forgatná.) Ez az egyensúlyi helyzet akkor valósul meg, ha olyan ω1 szögsebességgel helyezzük az űrállomást a körpályára, amely mellett
fmM(R-r)2+fmM(R+r)2=mω12(R+r)+mω12(R-r),
(a gravitációs erő szolgáltatja a körmozgás gyorsulását).
Eszerint a szükséges szögsebesség:
ω12=fMR1+(r/R)2[1-(r/R)2]2fMR3[1+3(rR)2+...].

Elhelyezhetjük az űrhajót a körpálya érintőjében is (1.c ábra). Ez is egyensúlyi helyzet, mert az eredő forgatónyomaték nulla, de labilis, mert a legkisebb kimozdulás esetében átbillen a radiális helyzetbe. Az érintőleges egyensúlyi helyzet esetében a mozgásegyenlet:
fmMR2+r2=mω22R2+r2.
Ilyen esetben a (labilis) egyensúlyi helyzethez ω2 szögsebesség tartozik:
ω22=fMR31[1+(r/R)2]3/2fMR3[1-32(rR)2+...].
Ez a szögsebesség kisebb, mint amely a radiális, stabilis egyensúlyi helyzethez tartozik.
Ugyanez a meggondolás érvényes akkor is, ha az űrhajó helyzete merőleges a pályasugárra, de nem fekszik a pálya síkjában.
Megvizsgáljuk az energiaviszonyokat is. A radiális, stabilis egyensúlyi helyzetben a gravitációs energia a végtelenhez képest:
-R-rfmMx2dx-R+rfmMx2dx=-2fmMR11-(r/R)2-2fmMR[1+(rR2)+...].
Az érintőleges helyzetben a gravitációs energia:
-2R2+r2fmMx2dx=-2fmMR11+(r/R)2-2fmMR[1-12(rR)2+...].
A radiális helyzetben a gravitációs energia alacsonyabb, mint a labilis egyensúlyi helyzetben.
 

2. Két, r=1cm sugarú drótkarika d=1cm távolságban áll egymással szemben. A drótkarikákat szappanhártyák vonják be. Amikor a két hártyát egy elektromos feszültségforrás sarkaira kapcsoljuk, a hártyák gömbsüvegek formájában kissé egymás felé domborodnak. Mindegyik hártya közepének elmozdulása h=1mm. Mekkora az elektromos potenciálkülönbség? A szappanoldat felületi feszültsége f=0,03newton/méter.
 

 
2. ábra

 

Megoldás. Egy szóródásmentes, homogén terű síkkondenzátor két lemeze között a vonzóerő:
F=1214π9109Ad2U2.
Itt az A=πr2 lemezterület m2-ben, a d lemeztávolság méterben, az U potenciálkülönbség voltban, az F erő newtonban értendő. Megoldásunkban a szappanhártyákat síkkondenzátor lemezeiként kezeljük.
A felületi feszültségből a kerület minden hosszegysége mentén 2f erő származik, mert a hártyának két oldala van (2. ábra). Ennek az erőnek 2fsinα összetevője egyensúlyozza az elektrosztatikus vonzóerőt, a teljes 2πr egész kerület mentén összegezve: 2πr2fsinα.
A sinα a gömbsüveghez tartozó derékszögű háromszögből számítható:
R2=r2+(R-h)2, innen
R-r2+h22héssinα-rR=2hr11+(h/r)22hr.

Az elektrosztatikus erőt egyenlővé tesszük a felületi feszültségből származó erővel, sinα értékét felhasználva:
14π9109πr2d2U2=4πrf2hr,
innen a keresett potenciálkülönbség:
U=4dr4π9109fh=737volt.

 

3. Az első esetben a 3.a ábra szerint az M mágnes tengelyére merőleges síkban helyezkedik el az A lapos tekercs. A második esetben a mágnes tengelyéhez szimmetrikusan ugyanolyan B tekercs is van (3.b ábra.) A mágnesrudat hirtelen elrántjuk. Melyik esetben lesz nagyabb az A tekercsben keletkező áram?
 

 
3. ábra

 

Megoldás. A mágnes elrántásakor csökken az A tekercsben az M mágnes által okozott fluxus, ezért a tekercsben olyan irányú áram indukálódik, amelynek mágneses fluxusa pótolni igyekszik a fluxusveszteséget. A 4. ábra metszetben mutatja az elrendezést. Az indukált áram által keltett mágneses tér erővonalait a szaggatott körök mutatják. A második esetben az indukált áram által a B tekercsben létrehozott erővonalak egy része átmegy az A tekercs területén is, de az A tekercs indukált áramához tartozó erővonalakkal szembe haladva. Így a B tekercs jelenlétében az A tekercs indukált áramának nagyobb fluxusváltozást kell kivédenie. Tehát a második esetben nagyobb az A tekercs indukált áramának erőssége. Természetesen mindezt fordítva el lehetne mondani B tekercsre is.
 

 
4. ábra

 

Indukció esetében az összes megmozdított töltés arányos a teljes fluxusváltozással. A teljes fluxusváltazás ‐ a kísérlet elejétől a végéig vizsgálva ‐ mindkét kísérletben ugyanakkora, így a megmozdított töltés is. A 4. ábra alsó részén az I-t diagramok alatti területek egyenlők, de a b kísérlet esetében az áramcsúcs hegyesebb.
 

A verseny eredménye
 

I. díjat nyert Kaufmann Zoltán, a budapesti ELTE-TTK fizikus hallgatója (a váci Sztáron Sándor Gimnáziumban érettségizett Molnár Sándorné tanítványaként).
II. díjat négyen kaptak egyenlő helyezésben: Bene Gyula honvéd (Miskolcon érettségizett a Földes Ferenc Gimnáziumban Zsudel László tanítványaként), Csordás András honvéd (Esztergomban a Dobó Katica Gimnáziumban érettségizett Sipos Imre tanítványaként), Frankhauser József honvéd (Budapesten a József Attila Gimnáziumban érettségizett Tóth Eszter tanítványaként) és Körmendy Péter honvéd (Budapesten a Petőfi Sándor Gimnáziumban érettségizett Szondi Lajos  tanítványaként).
III. díjat nyertek egyenlő helyezésben Szalontai Zoltán a törökszentmiklósi Bercsényi Miklós Gimn. IV o. t., (tanára Szalontai László) és Szomor Zoltán a Pécsi Orvostudományi Egyetem hallgatója (a pécsi Nagy Lajos Gimnáziumban érettségizett Tornyos Tivadar tanítványaként).
Két versenvző kapott dicséretet: Boroven József a budapesti Eötvös József Gimnázium III. o. t. (tanára Vargha Balázs) és Pacher Tibor honvéd (Mosonmagyaróvárott a Kossuth Lajos Gimnáziumban érettségizett Gulyás Ferencné tanítványaként.)