Cím: Az 1976-1977. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet: 1977/november, 117 - 118. oldal  PDF file
Témakör(ök): OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. forduló

 

1. Mutassuk meg, hogy ha az n természetes szám, akkor az
A=(10n+10n-1+...+10+1)(10n+1+5)+1
szám mindig négyzetszám.
 
2. Jelöljük a konvex ABCD négyszög AC, BD átlójának felezőpontjait rendre E-vel, F-fel. Bizonyítsuk be, hogy ha 2EF=AD-BC, akkor AD párhuzamos BC-vel.
 
3. Legyen a, b tetszőleges pozitív, c tetszőleges valós szám. Határozzuk meg azt az x-et, amelyre
3a2x-b2x=caxbx.

 
4. Hány oldalú szabályos sokszögben lehet metszeni egy kockát?
 
5. Legyen an az összes, a tízes számrendszerben legfeljebb n jegyű, nem negatív egész számok száma, bn pedig ezek közül azoknak a száma, amelyek tízes számrendszerbeli alakjában van ötös számjegy. Adjuk meg an-et és bn-et n függvényeként, és a limnanbn határértéket!
 
6. Mutassuk meg, hogy van olyan k természetes szám, amelyre
1976<1+12+...+1k<1977.

 
7. Legyen e az ABC háromszög síkjának tetszőleges egyenese. Jelöljük az A, B, C pontoknak az e egyenesen levő merőleges vetületét A1-gyel, B1-gyel, C1-gyel, továbbá az A1-en átmenő, BC-re merőleges egyenest a1-gyel, a B1-en átmenő, CA-ra merőleges egyenest b1-gyel, a C1-en átmenő, AB-re merőleges egyenest c1-gyel. Bizonyítandó, hogy a1, b1, c1 egy ponton megy át.
 
8. n4 különböző (pozitív) prímszámról tudjuk, hogy közülük bármelyik három összege is prímszám. Mekkora az n szám?
 
II. forduló

 
Szakközépiskolák, valamint gimnáziumok általános tantervű osztályai tanulóinak

 
1. Adott a sík négy különböző pontja: A, B, C és S. Legyen a sík tetszés szerinti P pontjának az A-ra vonatkozó tükörképe P1; P1-nek az S pontra vonatkozó tükörképe P2; P2-nek a B pontra vonatkozó tükörképe P3; P3-nak megint az S pontra vonatkozó tükörképe P4; P4-nek a C pontra vonatkozó tükörképe P5; végül P5-nek ismét az S pontra vonatkozó tükörképe P6.
Bizonyítsuk be, hogy P6 akkor és csak akkor azonos a P ponttal, ha S az ABC háromszög súlypontja!
 
2. Bizonyítsuk be, hogy minden 2(n2+n+1) alakú szám reciprok értéke ‐ ahol n pozitív egész számot jelent ‐ előállítható az
ak=1k(k+1)(k+2)(k=1,2,3,...).
sorozat ‐ bizonyos számú, nem feltétlenül az elsővel kezdődő ‐ egymás után következő tagjainak összegeként!
 
3. Jelölje rendre α, β, γ egy háromszög szögeinek mérőszámát!
a) Mekkora a cosα+cosβ+cosγ összeg lehető legnagyobb értéke?
b) Mely háromszögben veszi fel ez az összeg a legnagyobb értékét?
c) Bizonyítsuk be, hogy minden háromszögben
cosα+cosβ+cosγ>1.

d) Bizonyítsuk be végül, hogy van olyan háromszög, amelyre
cosα+cosβ+cosγ<1+ε,
ahol ε tetszés szerinti kicsire választható, rögzített pozitív számot jelent!
 

A gimnáziumok matematika I. szakosított tantervű osztályainak tanulói részére

 
1. Az ABC szabályos háromszög egy belső P pontjának az oldalakra vonatkozó tükörképei rendre X, Y és Z.
Bizonyítsuk be, hogy az XYZ háromszög területe nem lehet nagyobb az ABC háromszög területénél!
 
2. Bizonyítsuk be, hogy
(k+n)(1+xk)2n1-xk+n1-xn,
ha x 1-től különböző nem negatív szám, kn1 pedig egész számok.
 
3. Legyen A egy egész számokból álló halmaz, és B egy, ugyancsak egészekből álló kételemű halmaz! E két halmaz olyan tulajdonságú, hogy minden egész szám egyértelműen állítható elő egy A-beli és egy B-beli szám összegeként.
Bizonyítsuk be, hogy mindazok az egész számok, amelyek nem állíthatók elő két (nem feltétlenül különböző) A-beli szám különbségeként, ugyanannak az egésznek páratlan többszörösei.
 

A gimnáziumok matematika II. szakosított tantervű osztályainak tanulói részére

 
1. Adott egy háromszög. Határozzuk meg a belsejében ‐ esetleg valamelyik oldalán ‐ azt a pontot, amelynek az oldalakra vonatkozó tükörképei által meghatározott háromszög területe maximális!
 
2. Bizonyítsuk be, hogy az {an=x+n; n=1,2,...} sorozathoz akkor és csak akkor találhatók olyan i, j, k indexek, amelyekre aiaj=ak2, ha x racionális.
 
3. Adott egy egységnyi élű kocka belsejében vagy felületén száz pont.
Bizonyítsuk be, hogy ki lehet választani közülük olyan négy pontot, amelyek által meghatározott tetraéder térfogata nem nagyobb 1/99-nél.