Cím:	Az 1976-1977. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	1977/november, 117 - 118. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. forduló   1. Mutassuk meg, hogy ha az $n$ természetes szám, akkor az $\begin{array}{c}{\displaystyle A=\left({10}^n+{10}^{n-1}+\text{...}+10+1\right)\left({10}^{n+1}+5\right)+1}\end{array}$ szám mindig négyzetszám.   2. Jelöljük a konvex $ABCD$ négyszög $AC$, $BD$ átlójának felezőpontjait rendre $E$-vel, $F$-fel. Bizonyítsuk be, hogy ha $2EF=AD-BC$, akkor $AD$ párhuzamos $BC$-vel.   3. Legyen $a$, $b$ tetszőleges pozitív, $c$ tetszőleges valós szám. Határozzuk meg azt az $x$-et, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle 3a^{2x}-b^{2x}=c{a}^x{b}^x\mathrm{.}}\end{array}$   4. Hány oldalú szabályos sokszögben lehet metszeni egy kockát?   5. Legyen $a_n$ az összes, a tízes számrendszerben legfeljebb $n$ jegyű, nem negatív egész számok száma, $b_n$ pedig ezek közül azoknak a száma, amelyek tízes számrendszerbeli alakjában van ötös számjegy. Adjuk meg $a_n$-et és $b_n$-et $n$ függvényeként, és a $\underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{a_n}{b_n}$ határértéket!   6. Mutassuk meg, hogy van olyan $k$ természetes szám, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle 1976<1+\frac{1}{\sqrt[]{2}}+\text{...}+\frac{1}{\sqrt[]{k}}<1977.}\end{array}$   7. Legyen $e$ az $ABC$ háromszög síkjának tetszőleges egyenese. Jelöljük az $A$, $B$, $C$ pontoknak az $e$ egyenesen levő merőleges vetületét $A_1$-gyel, $B_1$-gyel, $C_1$-gyel, továbbá az $A_1$-en átmenő, $BC$-re merőleges egyenest $a_1$-gyel, a $B_1$-en átmenő, $CA$-ra merőleges egyenest $b_1$-gyel, a $C_1$-en átmenő, $AB$-re merőleges egyenest $c_1$-gyel. Bizonyítandó, hogy $a_1$, $b_1$, $c_1$ egy ponton megy át.   8. $n\ge 4$ különböző (pozitív) prímszámról tudjuk, hogy közülük bármelyik három összege is prímszám. Mekkora az $n$ szám?   II. forduló   Szakközépiskolák, valamint gimnáziumok általános tantervű osztályai tanulóinak   1. Adott a sík négy különböző pontja: $A$, $B$, $C$ és $S$. Legyen a sík tetszés szerinti $P$ pontjának az $A$-ra vonatkozó tükörképe $P_1$; $P_1$-nek az $S$ pontra vonatkozó tükörképe $P_2$; $P_2$-nek a $B$ pontra vonatkozó tükörképe $P_3$; $P_3$-nak megint az $S$ pontra vonatkozó tükörképe $P_4$; $P_4$-nek a $C$ pontra vonatkozó tükörképe $P_5$; végül $P_5$-nek ismét az $S$ pontra vonatkozó tükörképe $P_6$. Bizonyítsuk be, hogy $P_6$ akkor és csak akkor azonos a $P$ ponttal, ha $S$ az $ABC$ háromszög súlypontja!   2. Bizonyítsuk be, hogy minden $2\left(n^2+n+1\right)$ alakú szám reciprok értéke ‐ ahol $n$ pozitív egész számot jelent ‐ előállítható az $\begin{array}{c}{\displaystyle a_k=\frac{1}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\left(k=\mathrm{1,2,3,}\text{...}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ sorozat ‐ bizonyos számú, nem feltétlenül az elsővel kezdődő ‐ egymás után következő tagjainak összegeként!   3. Jelölje rendre $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ egy háromszög szögeinek mérőszámát! a) Mekkora a $\text{cos}\alpha +\text{cos}\beta +\text{cos}\gamma$ összeg lehető legnagyobb értéke? b) Mely háromszögben veszi fel ez az összeg a legnagyobb értékét? c) Bizonyítsuk be, hogy minden háromszögben $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\alpha +\text{cos}\beta +\text{cos}\gamma >1.}\end{array}$ d) Bizonyítsuk be végül, hogy van olyan háromszög, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\alpha +\text{cos}\beta +\text{cos}\gamma <1+\epsilon \mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\epsilon$ tetszés szerinti kicsire választható, rögzített pozitív számot jelent!   A gimnáziumok matematika I. szakosított tantervű osztályainak tanulói részére   1. Az $ABC$ szabályos háromszög egy belső $P$ pontjának az oldalakra vonatkozó tükörképei rendre $X$, $Y$ és $Z$. Bizonyítsuk be, hogy az $XYZ$ háromszög területe nem lehet nagyobb az $ABC$ háromszög területénél!   2. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(k+n\right)\left(1+x^k\right)\ge 2n\frac{1-x^{k+n}}{1-x^n}\mathrm{,}}\end{array}$ ha $x$ $1$-től különböző nem negatív szám, $k\ge n\ge 1$ pedig egész számok.   3. Legyen $A$ egy egész számokból álló halmaz, és $B$ egy, ugyancsak egészekből álló kételemű halmaz! E két halmaz olyan tulajdonságú, hogy minden egész szám egyértelműen állítható elő egy $A$-beli és egy $B$-beli szám összegeként. Bizonyítsuk be, hogy mindazok az egész számok, amelyek nem állíthatók elő két (nem feltétlenül különböző) $A$-beli szám különbségeként, ugyanannak az egésznek páratlan többszörösei.   A gimnáziumok matematika II. szakosított tantervű osztályainak tanulói részére   1. Adott egy háromszög. Határozzuk meg a belsejében ‐ esetleg valamelyik oldalán ‐ azt a pontot, amelynek az oldalakra vonatkozó tükörképei által meghatározott háromszög területe maximális!   2. Bizonyítsuk be, hogy az $\{a_n=x+n$; $n=\mathrm{1,2,}\text{...}\}$ sorozathoz akkor és csak akkor találhatók olyan $i$, $j$, $k$ indexek, amelyekre $a_i{a}_j=a_k^2$, ha $x$ racionális.   3. Adott egy egységnyi élű kocka belsejében vagy felületén száz pont. Bizonyítsuk be, hogy ki lehet választani közülük olyan négy pontot, amelyek által meghatározott tetraéder térfogata nem nagyobb $1/99$-nél.