Cím: A KÖMAL klubdélutánon javasolt feladatok (Folytatás)
Füzet: 1976/április, 171 - 172. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

16. Mi az a legnagyobb szám, amit négy darab 7-sel, műveleti jelek alkalmazása nélkül fel lehet írni?

 

17. Egy nap alatt hányszor fordulhat elő, hogy ha az óramutatókat felcseréljük, a felcserélt mutatók olyan időt mutatnak, ami a valóságban létezik? (Másodpercmutató nincs az órán.)
 

18. Egy háromszög AB oldalán végigfut egy P pont. P-ből párhuzamost húzunk AC-vel, illetve BC-vel. Mi az így kapott AP, illetve BP alapú háromszögek körülírt körei metszéspontjának a mértani helye?
 

19. Milyen háromszögek esetében vannak a magasságszakaszok felezőpontjai egy egyenesen?
 

20. Oldjuk meg az egész számok körében az 10x2+10y2+101xy+10x+y=1971 egyenletet.
 

21. Mutassuk meg, hogy ha egy derékszögű háromszög befogói a, b, átfogója c, akkor
a7+b7+c7=a3b3(a+b)+b3c3(b+c)+a3c3(a+c)-2a2b2c2(a+b+c).

22. Az ABC háromszög C csúcsából induló magasságának, szögfelezőjének, súlyvonalának metszéspontja a körülírt körrel D, E, F. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adott D, E, F.
 

23. Bizonyítsuk be, hogy (a-1)2 minden n természetes számra osztója an-an+n-1-nek.
 

24. Mutassuk meg, hogy (n!)2nn.
 

25. Adott a síkon négy pont úgy, hogy bármely kettő távolsága legalább 1. Bizonyítsuk be, hogy a közöttük levő legnagyobb távolság legalább 2.
 

26. Mutassuk meg, hogy egy szám összes osztójának száma pontosan akkor páratlan, ha ez a szám teljes négyzet.
 

27. Egy útkereszteződésnél az út kétfelé ágazik el. Meg szeretnénk kérdezni, melyik a helyes út. Az útkereszteződésben két ember áll, az egyik mindig igazat mond, a másik mindig hazudik. Megtudhatjuk a helyes utat egyetlen kérdéssel?
 

28. Mutassuk meg, hogy ha n3, akkor nn>n+1n+1.
 

29. 12 pénzdarab közül egy hamis, azaz más súlyú, mint a többi. Három méréssel határozzuk meg, melyik az, és hogy nehezebb vagy könnyebb!
 

30. Hány darab és milyen súlyok szükségesek ahhoz, hogy egy kétkarú mérleggel 40 kg-ig minden egész kilogrammot mérni tudjunk?
 

31. Adott három pozitív számnak a számtani, a mértani és a négyzetes közepe. Számítsuk ki a három számot!
 

32. Hányféleképpen lehet a sakktáblán a két királyt elhelyezni úgy, hogy azok ne üssék egymást?
 

33. Bizonyítsuk be, hogy minden természetes szám felírható három darab kettes számjeggyel, matematikai jelekkel és szimbólumokkal.
 

34. Határozzuk meg a tetraéder belsejében azon pontok mértani helyét, amelyeknek a négy lapsíktól vett távolságaik összege állandó!
 

35. Adott egy háromszög magasságpontjának a három oldalra való tükörképe. Szerkesszük meg ezekből a háromszöget!
 

36. Milyen p prímszámra lesz p2+2 ismét prim?
 

37. Bizonyítsuk be, hogy minden egyenlő oldalú rácssokszög (minden csúcspontja rácspont) páros oldalú!
 

38. Adott az O középpontú k kör, a P és Z pontok. Szerkesszünk a k körön olyan X pontot, hogy a PXZ szöget az OX egyenes felezze!
 

39. Egy háromszögben fejezzük ki az oldalakkal a szögfelezők háromszögbe eső darabjainak a hosszát!
 

40. Bizonyítsuk be, hogy 2x+3y és 9x+5y az x és y ugyanazon értékeire osztható 17-tel!
 

41. Adott egy háromszög magasságvonalainak talppontja. Szerkesszük meg a háromszöget!
 

42. Adott egy háromszög belsejében a P és Q pont. P-ből menjünk el Q-ba a legrövidebb olyan úton, amely érinti a háromszög mindhárom oldalát!
 

43. Az A, B, C, D E, pontok egy síkban vannak, P pedig nincs ebben a síkban. A Q pontra igaz, hogy PQ=(PA+PB+PC+PD+PE)/5. Mutassuk meg, hogy Q is benne van A, B, C síkjában!
 

44. Adott egy trapéz négy szöge, valamint az egyik átló és egy alap szöge. Mekkora a két átló által bezárt szög?
 

45. Hány fokos az 1. ábrán ?-lel jelölt szög?
 

 

1. ábra
 

46. Cseréljük meg a 2. ábrán az 1-es és 2-es kocsikat, ha az alagúton csak a mozdony fér át!
 

 

2. ábra
 

47. Az ABC háromszög oldalfelező pontja rendre A1, B1, C1. Válasszuk meg az X, Y, Z pontokat a 3. ábrán látható szakaszokon úgy, hogy a vonalkázott rész területe a lehető legkisebb legyen!
 

 

3. ábra