Kezdőlap


Cím:	A KÖMAL klubdélutánon javasolt feladatok (Folytatás)
Füzet:	1976/április, 171 - 172. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

16. Mi az a legnagyobb szám, amit négy darab $7$ -sel, műveleti jelek alkalmazása nélkül fel lehet írni?

17. Egy nap alatt hányszor fordulhat elő, hogy ha az óramutatókat felcseréljük, a felcserélt mutatók olyan időt mutatnak, ami a valóságban létezik? (Másodpercmutató nincs az órán.)

18. Egy háromszög

A B

oldalán végigfut egy

P

pont.

P

-ből párhuzamost húzunk

A C

-vel, illetve

B C

-vel. Mi az így kapott

A P

, illetve

B P

alapú háromszögek körülírt körei metszéspontjának a mértani helye?

19. Milyen háromszögek esetében vannak a magasságszakaszok felezőpontjai egy egyenesen?

20. Oldjuk meg az egész számok körében az

10 x^{2} + 10 y^{2} + 101 x y + 10 x + y = 1971

egyenletet.

21. Mutassuk meg, hogy ha egy derékszögű háromszög befogói

a

b

, átfogója

c

, akkor

\begin{matrix} a^{7} + b^{7} + c^{7} = a^{3} b^{3} (a + b) + b^{3} c^{3} (b + c) + a^{3} c^{3} (a + c) - 2 a^{2} b^{2} c^{2} (a + b + c) . \end{matrix}

22. Az

A B C

háromszög

C

csúcsából induló magasságának, szögfelezőjének, súlyvonalának metszéspontja a körülírt körrel

D

E

F

. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adott

D

E

F

23. Bizonyítsuk be, hogy

{(a - 1)}^{2}

minden

n

természetes számra osztója

a^{n} - a n + n - 1

-nek.

24. Mutassuk meg, hogy

{(n!)}^{2} \geq n^{n}

25. Adott a síkon négy pont úgy, hogy bármely kettő távolsága legalább

1

. Bizonyítsuk be, hogy a közöttük levő legnagyobb távolság legalább

\sqrt[]{2}

26. Mutassuk meg, hogy egy szám összes osztójának száma pontosan akkor páratlan, ha ez a szám teljes négyzet.

27. Egy útkereszteződésnél az út kétfelé ágazik el. Meg szeretnénk kérdezni, melyik a helyes út. Az útkereszteződésben két ember áll, az egyik mindig igazat mond, a másik mindig hazudik. Megtudhatjuk a helyes utat egyetlen kérdéssel?

28. Mutassuk meg, hogy ha

n \geq 3

, akkor

\sqrt[n]{n} > \sqrt[n + 1]{n + 1}

29.

12

pénzdarab közül egy hamis, azaz más súlyú, mint a többi. Három méréssel határozzuk meg, melyik az, és hogy nehezebb vagy könnyebb!

30. Hány darab és milyen súlyok szükségesek ahhoz, hogy egy kétkarú mérleggel

40

kg-ig minden egész kilogrammot mérni tudjunk?

31. Adott három pozitív számnak a számtani, a mértani és a négyzetes közepe. Számítsuk ki a három számot!

32. Hányféleképpen lehet a sakktáblán a két királyt elhelyezni úgy, hogy azok ne üssék egymást?

33. Bizonyítsuk be, hogy minden természetes szám felírható három darab kettes számjeggyel, matematikai jelekkel és szimbólumokkal.

34. Határozzuk meg a tetraéder belsejében azon pontok mértani helyét, amelyeknek a négy lapsíktól vett távolságaik összege állandó!

35. Adott egy háromszög magasságpontjának a három oldalra való tükörképe. Szerkesszük meg ezekből a háromszöget!

36. Milyen

p

prímszámra lesz

p^{2} + 2

ismét prim?

37. Bizonyítsuk be, hogy minden egyenlő oldalú rácssokszög (minden csúcspontja rácspont) páros oldalú!

38. Adott az

O

középpontú

k

kör, a

P

és

Z

pontok. Szerkesszünk a

k

körön olyan

X

pontot, hogy a

P X Z

szöget az

O X

egyenes felezze!

39. Egy háromszögben fejezzük ki az oldalakkal a szögfelezők háromszögbe eső darabjainak a hosszát!

40. Bizonyítsuk be, hogy

2 x + 3 y

és

9 x + 5 y

x

és

y

ugyanazon értékeire osztható

17

-tel!

41. Adott egy háromszög magasságvonalainak talppontja. Szerkesszük meg a háromszöget!

42. Adott egy háromszög belsejében a

P

és

Q

pont.

P

-ből menjünk el

Q

-ba a legrövidebb olyan úton, amely érinti a háromszög mindhárom oldalát!

43. Az

A

B

C

D

E

, pontok egy síkban vannak,

P

pedig nincs ebben a síkban. A

Q

pontra igaz, hogy

\vec{P Q} = (\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} + \vec{P E}) / 5

. Mutassuk meg, hogy

Q

is benne van

A

B

C

síkjában!

44. Adott egy trapéz négy szöge, valamint az egyik átló és egy alap szöge. Mekkora a két átló által bezárt szög?

45. Hány fokos az 1. ábrán ?-lel jelölt szög?

1. ábra

46. Cseréljük meg a 2. ábrán az

1

-es és

2

-es kocsikat, ha az alagúton csak a mozdony fér át!

2. ábra

47. Az

A B C

háromszög oldalfelező pontja rendre

A_{1}

B_{1}

C_{1}

. Válasszuk meg az

X

Y

Z

pontokat a 3. ábrán látható szakaszokon úgy, hogy a vonalkázott rész területe a lehető legkisebb legyen!

3. ábra