Cím: A méhek lépsejtjeiről - matematikus szemmel
Szerző(k):  Csákány Béla 
Füzet: 1971/november, 109 - 117. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Megfigyelve a lépet, melyet a méhek az összegyűjtött méz elraktározása és az ivadékok felnevelése céljára viaszból építenek, azt látjuk, hogy az megközelítőleg egybevágó sejtekből áll. A sejtek alakja szabályos hatszög alapú egyenes hasáb, amelynek egyik alapja hiányzik ‐ ez a bejárati nyílás a másik alapját pedig három egybevágó rombuszból álló zárólap-rendszer helyettesíti (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

A sejtek két rétegben helyezkednek el, s az ugyanazon rétegben levő sejtek oldallapjaikkal illeszkednek egymáshoz és bejárati nyílásuk síkja közös, a különböző rétegben levők pedig rombusz alakú zárólapjaikkal (2. ábra). Az illeszkedés hézagmentes, tehát a sejtek lapjai (a lép szélén elhelyezkedő lapok kivételével) két szomszédos sejt közös lapjául szolgálnak. (A sejtek állása a méhkasban a 2. ábra szerinti, a lép határoló síkjai körülbelül függőlegesek; ha viszont a matematikus egyetlen sejtet ragad azt természetesen az 1. ábrán látott módon állítja maga elé.)
 
 
2. ábra
 

A lépsejtek közepes mélysége 11,3mm, az alap-hatszög élhossza 2,7mm (esetenként kis eltérések vannak), vagyis a sejtek mélysége kb. 2-szer akkora, mint az alapidom átmérője.
A méheket a takarékosság mintaképének szokás tekinteni, kézenfekvő hát a kérdés, ,,gazdaságosan'' bánnak-e a viasszal a sejtépítésben. Matematikus gondolkodással mindjárt így egyszerűsítenénk a kérdést: mennyi viasz felhasználásával tudnak adott mézmennyiség elraktározásához elegendő sejtet építeni. Más szóval: adott térfogat mellett mekkora a sejt felszíne ? Minél kisebb a felszín, annál gazdaságosabb a méz tárolása.
Arra gondolni, hogy egyetlen tartály esetén a gömb a leggazdaságosabb alak erre a problémára, csak azért érdemes, hogy rádöbbenjünk: egészen máshogyan kell hozzányúlnunk a kérdéshez. Hiszen a méhcsaládnak igen nagy számú kicsi sejtre van szüksége, és ösztönük a sejt alakjának, méreteinek kialakításában nyilván más, biológiai, fizikai adottságokhoz is alkalmazkodott. (Pl. a királynő-nevelő sejtek nagyobbak, teherbírás stb.) Az ilyenek elemzése természetesen nem a matematikus dolga, viszont nem volna dialektikus, ha tudomást sem vennénk róluk. Próbáljuk ezért először az adott helyzetet nagyjából megérteni, mielőtt számításba kezdenénk.
A sejtek egymás közti egybevágóságával (csak a dolgozókat nevelő és méztároló sejtekre gondolva), konvexségével ‐ az ő ,,nyelvükön'' mondva azzal az ösztönös törekvéssel, hogy az építésben minél több egyformaság nyilvánuljon meg ‐, továbbá a sejtfalak kétoldali kihasználásával megmagyarázható, hogy a falak csak síklapok lehetnek. Hozzávéve, hogy minden sejthez külön bejárat kell, éspedig csak egy, adódik a lép kétrétűsége és a cellák nagyjából hengeres, hasábos, egy fejlődő méh testét éppen befogadó alakja, a párhuzamos határlapok, mert így a sejtek határfelületének a nyílástól legtávolabbi részei ‐ a mondott zárólapok ‐ szintén kétszeresen vannak kihasználva.
Az egyes sejtek szimmetriája, részletezve: lapjainak egybevágósága és a találkozó lapok kölcsönös helyzetének egyformasága is megérthető az építés egyszerűségéből, ezért egyenlők az alapidom oldalai és szögei, ezért derékszögek az alapon levő lap és élszögek. Végül abban, hogy a szabályos sokszögnek kikövetkeztetett alapidomnak éppen hat oldala van, azt látjuk érvényesülni, hogy a síkot egyrétűen és hézagtalanul, egybevágó, szabályos sokszögekkel lefedni csak úgy lehet, ha a sokszög oldalainak száma 3, 4 vagy 6, és e három idom közül rögzített terület esetén éppen a szabályos hatszögnek van legkisebb kerülete.
Ezek alapján a továbbiakban adottságnak tekintjük, hogy a lépsejtek szabályos hatszög alapú egyenes hasábok ‐ legalábbis a bemeneti részük ilyen alakú ‐ és figyelmünket a zárólapok alakjára és elhelyezkedésére fordítjuk.
2. Meggondolásaink egy része elemi geometriai jellegű, másrészt alkalmazni fogjuk a differenciálszámítás elemeit is. Eközben egyes részletek bővebb átgondolását az olvasóra hagyjuk.
Tekintsünk egy ABCDEF szabályos hatszög fedőlapú egyenes hasábot (3. ábra).
 

 

Alapélét egységnek vesszük, AA' oldalélének hosszúságát a-val jelöljük. Térfogata ekkor 332a. Metsszük le hasábunkról az A, C és X pontokon átmenő síkkal az AXCB tetraédert s forgassuk el 180-kal AC mint tengely körül. Ekkor a B csúcs a hatszög O középpontjába kerül, az X csúcs az O-ban emelt merőleges egy P pontjába s az A, X, C, P pontok egy rombusz csúcsai lesznek. Válasszuk meg ezután Y-t az FF', Z-t a DD' oldalélen úgy, hogy FY=DZ=BX, és járjunk el hasonlóan az EYAF és EZCD tetraéderrel. Az elforgatás után F és D megy át O-ba, Y és Z pedig E-be.
Az így keletkezett síklapú testet nevezzük lépsejtidomnak. Ennek zárólapjai az AXCP, EYAP és CZEP rombuszok, és térfogata megegyezik az eredeti hasábéval. Felszínéről viszont azt sejtjük, hogy kisebb, mint az eredeti hasábé.
Vezessük be a BX=x jelölést és kérdezzük: x mely értéke mellett lesz a lépsejtidom felszíne minimális. (Megjegyezzük, hogy x változtatásával a zárólaprendszer minőségileg nem változik, hacsak 0<xa, csupán a rombuszlapok síkjai fordulnak el a végzett forgatások tengelyei körül. Szokásos kifejezéssel: egy szabadsági fokunk van a változtatásra: a zárólapok szögének változtatása.) A felszínt megadó
F(x)=6a-3x+33x2+34
függvénynek csak ott lehet minimuma, ahol derivált függvénye a 0 értéket veszi fel. Mármost az
F'(x)=3(-1+3x3x2+34)=0
egyenlet egyetlen (pozitív) megoldása x=24. Megmutatjuk, hogy F'(x) monoton növekvő (természetesen csak az x>0 értékeket tekintjük). Ugyanis azonos átalakításokkal
F'(x)=3(33+34x2-1),
x növekedésével a 34x2 tag és vele az egész nevező csökken, a tört és vele F'(x) is nő. Ámde az x=0 helyen (az eredeti alakból) F'(0)=-3, és mint tudjuk, F'(24)=0, és utána tovább nő, vagyis a24 helyen F'(x) negatívból pozitívba megy át, és ennek megfelelően F(x) csökkenésből növekedésbe megy át. Így az x=24 helyen F(x)-nek valóban minimuma van, és ott van az egyetlen minimuma, amelynek értéke F(24)=6a+322=6a+2,1213 területegység.
3. Most már több érdekeset mondhatunk az optimális (legkisebb felszínű) lépsejtidomról. x=24 esetén egyszerű számításokkal a rombuszlap oldala AX=324 ‐ éppen 3x ‐, átlói PX=62 és AC=3, ezekből területe 324, vagyis mértékszámban egyenlő AX-szel, tehát a rombuszlap magassága (szélessége) 1. Ez ismét ugyanannyi, mint a hasáb oldallapjainak szélessége, más szóval X-nek PA-tól és AA'-tól való távolsága egyenlő. (A 3. ábrán jobb áttekintés érdekében x-et jóval nagyobbnak vettük, mint az optimális 0,354 érték.) Ebből és a lépsejtidom (forgási és tükrözési) szimmetriáiból következik, hogy idomunk A (valamint C és E) csúcsánál összefutó 4 él szomszédos párjai közti szögek egyenlők; mindegyik hegyesszög, mert a PAXC lapban PX<AC. Továbbá az is következik, hogy 3-3 egyenlő tompaszög (az előbbiek kiegészítő szöge) fut össze a P, X, Y, Z csúcsokban.
Ezek szerint lehet úgy forgatni az optimális lépsejtidomot egy, az X csúcsán átmenő tengely körül, hogy A a C-be jusson, az XC egyenes az XB' élre és XB' az XA egyenesre (így az AA' él a CP egyenesre fordul rá). Ez ‐ továbbmenve ‐ azt jelenti, hogy a PAXC rombuszlap ugyanakkora szöget zár be az AXB'A' oldallappal, mint ez a CXB' oldallappal, vagyis 120-ot. Eszerint az optimális lépsejtidom 15 éle mindegyikénél az ott összefutó 2-2 lap 120-os szöget zár be egymással.
A mondott forgatást még 2-szer ismételve az XA, XC, XB' élek visszajutnak eredeti helyzetükbe, tehát a forgatás szöge is 120 volt.
Azt is könnyű belátni, hogy lépsejtidomunk egybevágó példányaival hézagtalanul és átfedés nélkül ki lehet tölteni a térnek olyan sávját, melyét két párhuzamos sík határol egymástól 2a távolságban. Toljuk el a PAXCZEYA'B'...F'= =S sejtidomot az EC vektorral az S2 helyzetbe. EA-ral az S3-ba; a 4. ábrán a határsíkokra merőleges irányból nézve látjuk ezt a helyzetet, minden jelzőbetű 2-es, illetve 3-as indexet kapott az új helyzetben, egyes ilyen pontok már a 3. ábrán is fel vannak tüntetve. Ekkor Y2E2 egybeesik XC-vel és Z3E3 az XA-val, S2 és S3 egy-egy trapézlap mentén hézagtalanul illeszkedik S-hez és egymáshoz, az XB' él mentén a tér ki van töltve. Továbbá az XY2Z3 pontban a három sejtidom egy-egy rombuszlapja fut össze tompaszögű csúcsával. Ha tehát S-et elfordítjuk AC mint tengely körül, 180-kal, az így kapott S4-nek P4 csúcsa is X-be jut (továbbá X4, Y4Z4 csúcsa rendre a P-be, P3 ba, P2-be) és a tér P4 körül is ki van töltve. A további kitöltésben természetesen az AC-t is bevesszük transzlációs vektornak és az eddigi vektorok (-1)-szereseit is, és ugyanezekkel toljuk el S4 et is. ‐ Ez a záródás ‐ kitöltés nincs kötve x-nek optimális értékéhez, érvényes bármely 0<xa érték mellett.
Hasznos lesz a továbbiak szemléletének könnyítésére eredményünket az alábbiak szerint is elmondani. A térsávot kitöltő sejtidomrendszer úgy keletkezett, hogy először a 3. ábra kiindulási hasábján végeztük el a legutóbb leírt eltolásokat, forgatásokat. Így a térsáv hézagtalanul és átfedés nélkül van kitöltve, felezősíkjában az egyik réteg minden egyes lapközéppontjával egybeesik a másik réteg három egymáshoz csatlakozó hasábjának közös csúcsa, például O4-gyel B, F2 és D3, az O-val egybeesők egyike pedig B4. Továbbá egy alsó és egy felső rétegbeli hasáb véglapjainak közös része egy egységnyi oldalú, 60 szögű rombusz, például ABCO, illetve a fölötte levő hasábról A4O4C4B4. Ezután ,,térrész átcsatolásokat'', cseréket hajtottunk végre a két réteg így érintkező hasábtartománypárjai között. Kettévágtuk például a most mondott rombuszt AC=A4C4 átlója mentén és ezen át levágtuk a két hasábról a BX=B4X4=x magasságú ACBX, A4C4B4X4 tetraédereket és hozzácsatoltuk mindegyiket a másik (megcsonkított) hasábtartományhoz. Ugyanezt végeztük minden olyan ‐ egy alsó és egy felső rétegbeli hasábból álló ‐ pár között, melyeknek van közös véglap-része. Így minden hasábról 3 tetraédert csonkítottunk le és 3 másikat csatoltunk hozzá, az utóbbiak egyesítve egy, az ACEP-vel egybevágó tetraédert adnak. Minden hasábos tértartomány ugyanannyi térfogatot kapott a másik rétegbeli 3 szomszédjától, mint amennyit azoknak átadott, így a sejtidomtartományok térfogata egyenlő az eredeti hasábtartományokéval, és természetesen a térsáv most is hézagtalanul és egyrétűen van kitöltve.
4. Visszatérve most már eredeti kérdésünkhöz, a lépsejtidomunk lapjaiban levő szögekre, XAP=XAA'=α jelöléssel az AX=3x=3BX észrevételből cosα=1/3, α=7032', ez tehát az optimális lépsejtidomon levő 6 trapéz és 3 rombuszlapnak a hegyesszöge.
Mivel ez a hegyesszög a lépsejtidom alakját egyértelműen meghatározza, elegendő ezt összehasonlítani a valóságos lépsejt megfelelő szögével. A méheknél ezt a hegyesszöget kb. 70-nak találjuk, ennél pontosabb megmérésnek nem is volna értelme, mivel a puha viaszból kialakított sejtekben az élek és a csúcsok természetesen kissé legömbölyítettek. Így érthető az az igen elterjedt nézet, hogy a méhek sejtjeik zárólapjait a leggazdaságosabb módon építik meg. *
5. Ezt a vélekedést 1964-ben Fejes-Tóth László megcáfolta. * Gondolatmenetét a következőkben ismertetjük, előkészítésül azonban egy másik utat mutatunk arra, hogyan lehet eljutni a méhek lépsejtidomához.
Tekintsünk egy kockát, s minden egyes lapjára illesszünk egy vele egybevágó kockát úgy, hogy az illeszkedő lapok egybeessenek (5. ábra bal oldali része), majd vegyük egy konvex síklapú test csúcsaiul az eredeti kocka 8 csúcsát, meg a további 6 kocka középpontját (az ábra jobb oldali része).
 
 
5. ábra
 

Ezt a testet ‐ mivel 12 (görögül: dodeka) lapja van s ezek mind egybevágó rombuszok ‐ rombdodekaédernek szokás nevezni. Két olyan csúcs, mint az ábrán A és C, két szomszédos kockalapon illeszkedő kockák középpontjai, akkora távolságban van egymástól, mint a kocka egy lapjának átlója ‐ az ábrán például YZ, így a PAXC rombuszlap két átlójának aránya 2, akárcsak a méhek rombuszainál a 3:62 arány, tehát a rombdodekaéder lapjai hasonlóak a fent talált optimális lépsejtidom rombuszaihoz. További egyezés az 5. és 3. ábrák között, hogy a rombdodekaéderen is az eredeti kockacsúcsokban (mint P) 3-3 rombusz fut össze a tompaszögével ‐ más szóval a rövidebb átló végpontjávál ‐, a hozzáillesztett kockák középpontjaiban pedig (mint A) 4-4 rombusz hegyesszöge, hosszabbik átlója találkozik.
Ezek szerint, ha egy 62 élű kockából kiindulva alkotunk rombdodekaédert, ebből elhagyjuk azt a 3 lapot, amely a kocka P-vel szemben fekvő csúcsában fut össze, a PAYE, PEZC, PCXA lapokhoz az AXCZEYA ,,koronavonal'' mentén csatlakozó 6 rombuszlapot pedig a csatlakozási éllel szemben levő él távolításával ,,folytatjuk'', akkor éppen az optimális lépsejtidomhoz jutunk. (A lépben a P-ből induló kockaátló fordul vízszintesre.)
Erre támaszkodva Fejes-Tóth László felvetette: van-e más olyan síklapú test is, amelynek 6 lapját alkalmas módon folytatva, egyes lapjait viszont elhagyva, szabályos hatszög alapú egyenes hasábot kapunk, egyik végén olyan zárólaprendszerrel, amely alkalmassá teszi arra, hogy ‐ a lépsejtidomhoz hasonlóan ismételve ‐ két rétegben hézagmentesen elhelyezhessük, s emellett a kapott idom felszíne ‐ változatlan térfogat mellett ‐ kisebb, mint a lépsejtidomé.
Fejes-Tóth László leírt egy ilyen testet. Vett két olyan egybevágó szabályos négy oldalú gúlát, amelyeknél az oldallap magassága egyenlő az alapéllel, ezeket alapjaikkal összeillesztette, majd a kapott kettős gúlának ‐ ami a szabályos oktaéderből is előállítható, egyik csúcstengelyével párhuzamos, 3/2=1,22 arányú nyújtással ‐ mind a 6 csúcsát ,,lecsonkította'', a szemben levő csúcspárokat összekötő 3 tengelyre merőleges síkokkal (6. ábra).
 
 
6. ábra
 

A kiindulási gúlák (négy élű) csúcsait eltávolító síkok félmagasságban metszik a gúlákat, negyedelik a tengelyt, felezik a végpontjaiba befutó 4-4 élt. A további 4 csúcsot levágó síkok pedig a csúcsoktól számított első nyolcadoló pontjukban metszik az illető (a fő tengelynél rövidebb) tengelyt, vagyis negyedelik az eredeti kettős gúlának az illető csúcsban összefutó éleit, és így a kettős csonka gúla oldaléleit felezik (ugyanis a kettős gúla bármelyik csúcstengelyét véve; a többi 4 csúcs egy síkban van).
Az így nyert testnek 14 lapja van, páronként párhuzamosak, a test szimmetrikus az összeillesztési síkokra és az egyes gúlák szimmetriasíkjaira (4 sík). Megtartva belőle azt a 4 lapot, amely az egyik összeillesztési alapélen keletkezett U, V negyedelő pontokban fut össze (2 hatszög és 2 rombusz), elhagyva az ezekkel párhuzamos 4 lapot és folytatva a további 6 lapot, előttünk áll a kívánt alak, nevezzük ezt négyzárólapú sejtidomnak.
Valóban, idomunk meghosszabbított lapjai egy szabályos hatoldalú hasáb oldallapjai, mert a kettős gúlából bármelyik alapélének σ felező merőleges síkja 60 szögű rombuszt metszett ki, ebből az első két csonkító sík szabályos hatszöget hagy vissza és a meghosszabbított 6 lap mindegyike merőleges σ-ra. (A 14 lapú test tulajdonképpen két egybevágó szabályos hatoldalú hasáb közös része, melyeknek tengelyei merőlegesen metszik egymást és két párhuzamos lappárjuk síkja közös.)
A négyzárólapú sejtidom felszínének és térfogatának megállapításához megmutatjuk, hogy idomunk, a kiindulási gúlák alapélét 2 egységnyinek véve ‐ a háromzárólapú sejtidomnál (3. ábra) látott lemetszésekhez és elforgatásokhoz hasonlóan ‐ előállítható az a magasságú, 1 alapélű szabályos hatoldalú hasábból. Legyen ugyanis M, N, P, Q sorban a hasáb FA, BC, FE, DC fedőélének felezőpontja, továbbá mérjük fel az A-ból, B-ből, F-ből induló oldalélre az AX=BY=FZ=1/4 szakaszt (7. ábra, AX nagyítva).
 
 
7. ábra       8. ábra
 

Csonkítsuk le az AB élt az M, N, X (és Y) pontokon átmenő síkkal, az F csúcsot az MPZ síkkal, és forgassuk el 180-kal a lemetszett MAXNBY ötlapú testet MN mint tengely körül, a PMFZ tetraédert PM körül. Ekkor A és B az FC átló első, illetve harmadik negyedelő pontjába jut, F1 be, illetve C1 be, hiszen FC=2AB=2XY, az F csúcs ugyancsak F1 be, másrészt X és Z az F1 fölött egyesülnek U-ban, ahol F1U=AX=1/4, az Y csúcs pedig a C1 fölé jut.
Járjunk el hasonlóan a DE éllel, a C csúccsal, és forgassuk el 180-kal a lemetszett, az előbbiekkel rendre egybevágó testeket PQ, illetve QN körül, így E is F1-be, D és C is C1-be jut, a testek új csúcsai pedig U-ba, V-be.
Az így kapott zárólaprendszer két lapja az MXYNVU két szimmetriatengelyű hatszög és az MZPU rombusz, a másik kettő ezek tükörképe, hiszen a rendszer nyilvánvalóan szimmetrikus az FC és AE átlók felező merőleges síkjára nézve. A hatszögben MN=3/2 és XY=XU=1, a további élek MX=MU=MZ=5/4, végül a rombusz átlói MP=3/2, ZU=2/2 és ugyanezeket az értékeket kapjuk a 6. ábrán látott, előre ugyanígy betűzött test lapjainak méreteire.
Ezek szerint a négyzárólapú sejtidom térfogata annyi, mint a kiindulási hasábé. Zárólaprendszerének és palástjának felszíne
2[(1+218)+238],illetve2(a-14)+4(a-18),
együttvéve
6a+32+64=6a+2,1124
területegység, kisebb, mint a háromzárólapú sejtidom felszíne (azonos térfogat mellett).
Hátra van még a két párhuzamos sík közti térsáv kitöltésének bizonyítása a négyzárólapú sejtidommal. A korábban végzett térrész-átcsatolási meggondolásunkon az iménti csonkítási és forgatási lépéseinkhez igazodva, csak kis módosítást kell végeznünk: a felső réteget az alsóhoz képest másképpen kell elhelyeznünk, mint az 5. ábra esetében, hiszen az iménti csonkítások és elforgatások lényegében négy átcsatolást, cserét jelentenek. A 7. ábra MABN trapéza MF1C1N-be került át, vagyis AB az F1C1 be, eszerint az alsó rétegbeli oldalfalak eddigi alaprajzából úgy készül a felső réteg alaprajza, hogy azt az AE2 vektorral toljuk el (8. ábra). Ezáltal a térkitöltés is felveszi a négyzárólapú sejtidom szimmetriáját: 2 tükörsíkrendszere van egymásra merőleges síkállásokkal, szemben a méhek 3 tükörsík állásával.
A Fejes-Tóth-féle sejtidom tehát gazdaságosabb az optimális lépsejt idomnál. Mégis, a méhek ,,mentségére'' meg kell jegyeznünk, hogy az utóbbi zárólaprendszer esetében a cella teljes felszíne alig 3,3-kel kisebb, mint a méheknél (ugyanis a bevezetőben közölt, mért értékekkel a=11,3/2,7=4,2), továbbá hogy a négytagú zárólaprendszer építése bonyolultabb lenne (2-féle lapalak, a lap- és élszögeket nem is számítottuk).
6. Lehet-e tovább javítani a sejtidom négytagú zárólaprendszerének méreteit ? Kiderül, hogy a 7. ábra XA=x méretének változtatásával lehet, bár ismét csak kis mértékben. Így az idom felszíne
G(x)=6a-4x+1448x2+3+5416x2+3,
amiből a fenti vizsgálathoz hasonlóan
G'(x)=4(3x48x2+3+5x16x2+3-1)=4(348+3x2+516+3x2-1),
G'(0)=-4 és x>0 esetén G'(x) monoton nő, a G'(x)=0 egyenlet gyöke * x=0,279... , itt G'(x) negatívból pozitívba, maga G(x) pedig csökkenésből növekedésbe vált át, itt van az egyetlen minimum, melynek értéke G(0,279)= =6a+2,1092, a méhekénél 4,5-kel kevesebb.
Nincs bebizonyítva, de valószínű, hogy az így kapott zárólaprendszer (alább új idomnak nevezzük) nem javítható tovább ‐ ti. a zárólapok minőségileg más megválasztásával ‐, más szóval a felhasznált viaszmennyiség szempontjából ez a leggazdaságosabb zárólaprendszer.
7. Befejezésül nézzük még meg, hogyan alakul három eredményünk, ha ‐ a méhészek ismert módján ‐ műléppel könnyítjük a méhek munkáját, viasztermelés helyett a mézgyűjtés felé irányítva őket. A műlép készen adja a méheknek a zárólaprendszert, kb. 20×30cm méretű ,,recézett'' lemezként, és ehhez csak az oldalfalakat kell megépíteniük. Mennyiségben ez még mindig a nagyobb része a munkának, de egyúttal bizonyára az egyszerűbb része is. Táblázatunkban az említett a=4,2 érték alapulvételével felírtuk a sejt összfelszínét (a bemeneti nyílás nélkül) és ennek megoszlását zárólaprendszerre és oldalfalakra. Így a megépítendő palástfelszín tekintetében a méhek a rangsor középső helyét foglalják el, az új idom a legjobb, mert x-nek 0,25-ről 0,279-re emelésével a zárólapok meredekebbek, felszínük nő, tehát nagyobb a felszínnek műléppel előkészíthető része.
1 sejt összfelszíne  Zárólaprendszer  Palást felszínefelszíne  Méhek:  27,2324    3,1820    24,0504Négyzárólapú      idom:  27,2235    3,1124    24,1111Új-idom:    27,2203    3,2260    23,9943  

Érdekes geometriai-biológiai kísérlet lenne a méheknek Fejes-Tóth-féle vagy új idomú műlépeket bekészíteni, vajon hogyan csatlakoztatnák a hatoldalú palástokat a 10 tagú koronavonalhoz.
 

Csákány Béla *

*Lásd pl. H. Dörrie: A diadalmas matematika. Gondolat Kiadó. Budapest, 1965. 384. oldal. ‐ Móra Ferenc: A világ így megyen. Szépirodalmi Kiadó. Budapest, 1956. 162‐165. oldal.

*L. Fejes Tóth: What the bees know and what they do not know. Bulletin of the American Mathematical Society, 70 (1964) pp. 468‐481. (Magyarul: Mi az, amit tudnak a méhek és mi az, amit nem tudnak.)

*A G'(x)=0 egyenletből a gyökmennyiségeket a szokásos módon eltüntetve negyedfokú egyenletet kellene megoldanunk. Emiatt célszerűbb közelítő eljárást alkalmaznunk a következő módon. Észrevesszük, hogy G'(0)<0, G'(1)>0; így 0 és 1 között a G'(x)=0 egyenletnek van megoldása. Továbbá G'(12)>0, így 0 és 12 között van megoldás. Ezt a eljárást folytatva, az n-edik lépésben a megoldást 12n-1 hosszúságú intervallumba szoríthatjuk. Így nyertük az x=0,279... értéket.

*Köszönetet mondok a Szerkesztőség tagjainak: Bakos Tibornak, volt tanáromnak, e cikk elkészítéséhez nyújtott önzetlen segítségéért és Matavovszky Tibornak értékes megjegyzéséért. A szerző.