Cím: Megjegyzés a 469. fizika feladat megoldásához
Szerző(k):  Dózsa Márton 
Füzet: 1965/november, 184 - 185. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 469. fizika feladat közölt megoldásában (K. M. L. XXX. 3. szám, 138. lap) az eredmény helyes, de a megokolás helytelen. Példa ez arra, hogy az intuícióval meglátott végeredmény alátámasztása helytelen lehet. A megoldó ugyanis abból indul ki, hogy feltételezi, miszerint az egyik alátámasztási pont már eljutott a súlypont alá, de a másik még nem. Ez a feltételezés azonban bizonyításra szorul; annál is inkább, mert a közölt feltételek mellett nem is igaz. A pontos meggondolás ugyanis éppen azt mutatja, hogy mindkét alátámasztási pont egyenletesen és felváltva tart a súlypont, mint határérték felé és egyikről sem mondható, hogy előbb jutott alája. Ezt a következőkben tömören igazoljuk.
Legyen a pálca súlya Q, az 1. ék távolsága a súlyponttól a és a 2. éké b. Ekkor ‐ mint ismeretes ‐ az ékekre ható súlymegoszlás

Q1=ba+bQ,Q2=aa+bQ.
vagyis a=Q2Q1b.
Az ékek és a pálca között súrlódó erő lép fel, éspedig kétféle: nyugalmi, tapadási (St), ha az éken nem mozog a pálca (súrlódási együtthatója μ0), és mozgási (Sm)μ együtthatóval. Tapasztalat szerint μ0>μ, s ez döntő a továbbiakban. A feladat éppen ennek a kétféle súrlódásnak a szerepére példa.
Az ékek megindulásakor legyen a<b és így Q1>Q2.
Ezért
S1t=μ0Q1>μQ2=S2t.
Az ékek megmozdulásakor tehát a 2. ék indul el a pálca alatt, míg az 1. ék a pálcával együtt mozog. A mozgás folytán előáll, hogy S2t lecsökken S2m=μQ2-re.
A pálcának 2. feletti csúszása addig tart, míg a b távolság annyira rövidül, hogy S'1t=S'2m lesz. Ez bekövetkezik b1-nél amikor is
S'1t=μ0b1a+b1Q=μaa+b1Q=S'2m,
vagyis b1=μμ0a, azaz μ0>μ folytán b1<a.
Ebben a pillanatban a pálcára nem hat erő, tehát megáll. Ekkor azonban S'2m a nagyobb S'2t értékre változik, s így S'1t<S'2t lesz. Most tehát az 1. ék fölött csúszik meg a pálca, aminek következményeként S'1t a kisebb S'1m értékre ugrik.
Ez a mozgás addig tart, amíg a1-nél S''1m=S''2t, vagyis
μb1a1+b1Q=μ0a1a1+b1Q,
amiből a1=μμ0b1=(μμ0)2a és nyilván a1<b1.
A pálca ismét megáll és S''1m átugrik a nagyobb S''1t értékre s így S''1t>S''1m=S''2t miatt ismét 2. fölött történik a csúszás, s lesz egyszerre S''2t-ből a kisebb S''2m. A mozgás most b2-ig tart, melyre S''1t=S''2m, vagyis
μ0b2a1+b2Q=μa1a1+b2Q,
amiből
b2=μμ0a1=(μμ0)3a.
Így folytatódik a két ék felett a csúszás mindig felváltva. Az alátámasztási pontok súlyponttól való távolságának sorozata tehát
b>a>b1=μμ0a>a1=(μμ0)2a>b2=(μμ0)3a>a2=(μμ0)4a>...,>>bn=(μμ0)2n-1a>an=(μμ0)2na>....Az 1. ék esetén:  a;a1=(μμ0)2a;a2=(μμ0)4a;...an=(μμ0)2na;...,és a 2. ék esetén:  b;b1=μμ0a;b2=(μμ0)3a;...bn=(μμ0)2n-1a;....

Mindkét sorozat végtelen geometriai haladvány, melynek hányadosa (μμ0)2, tehát mindkettő határértéke 0. A két alátámasztási pont tehát egyenletesen váltakozva tart a súlypont felé és alatta találkozik, de egyik sem ér előbb oda. A közölt megoldás feltételezése tehát hibás.
Azt hiszem, a fönti gondolatmenet arra is választ ad, miért kellett a feladatban feltételezni a pálca egyenletesen érdes felületű egyenes voltát.
 
Dózsa Márton
 

(Azok részére, aki a XXX. kötetet nem olvasták, itt közöljük újból a tanulságos feladat szövegét:
469. Támasszunk alá egy egész hosszában egyenletesen érdes felületű egyenes pálcát két tetszőleges pontjában. (Gyakorlatban vehetünk egy sétapálcát vagy vonalzót, és mutatóujjunkkal támasszuk alá.) Kérdés: a pálca melyik pontja alatt találkozik a két ék, ha azonos abszolút értékű állandó sebességgel mozognak egymás felé?
 
Közli: Dózsa Márton