Kezdőlap


Cím:	Megjegyzés a 469. fizika feladat megoldásához
Szerző(k):	Dózsa Márton
Füzet:	1965/november, 184 - 185. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 469. fizika feladat közölt megoldásában (K. M. L. XXX. 3. szám, 138. lap) az eredmény helyes, de a megokolás helytelen. Példa ez arra, hogy az intuícióval meglátott végeredmény alátámasztása helytelen lehet. A megoldó ugyanis abból indul ki, hogy feltételezi, miszerint az egyik alátámasztási pont már eljutott a súlypont alá, de a másik még nem. Ez a feltételezés azonban bizonyításra szorul; annál is inkább, mert a közölt feltételek mellett nem is igaz. A pontos meggondolás ugyanis éppen azt mutatja, hogy mindkét alátámasztási pont egyenletesen és felváltva tart a súlypont, mint határérték felé és egyikről sem mondható, hogy előbb jutott alája. Ezt a következőkben tömören igazoljuk.
Legyen a pálca súlya $Q$ , az 1. ék távolsága a súlyponttól $a$ és a 2. éké $b$ . Ekkor ‐ mint ismeretes ‐ az ékekre ható súlymegoszlás

\begin{matrix} Q_{1} = \frac{b}{a + b} Q, Q_{2} = \frac{a}{a + b} Q . \end{matrix}

vagyis

a = \frac{Q_{2}}{Q_{1}} b

.
Az ékek és a pálca között súrlódó erő lép fel, éspedig kétféle: nyugalmi, tapadási

(S_{t})

, ha az éken nem mozog a pálca (súrlódási együtthatója

μ_{0}

), és mozgási

(S_{m}) μ

együtthatóval. Tapasztalat szerint

μ_{0} > μ

, s ez döntő a továbbiakban. A feladat éppen ennek a kétféle súrlódásnak a szerepére példa.
Az ékek megindulásakor legyen

a < b

és így

Q_{1} > Q_{2}

.
Ezért

\begin{matrix} S_{1 t} = μ_{0} \cdot Q_{1} > μ Q_{2} = S_{2 t} . \end{matrix}

Az ékek megmozdulásakor tehát a 2. ék indul el a pálca alatt, míg az 1. ék a pálcával együtt mozog. A mozgás folytán előáll, hogy

S_{2 t}

lecsökken

S_{2 m} = μ Q_{2}

-re.
A pálcának 2. feletti csúszása addig tart, míg a

b

távolság annyira rövidül, hogy

S'_{1 t} = S'_{2 m}

lesz. Ez bekövetkezik

b_{1}

-nél amikor is

\begin{matrix} S'_{1 t} = μ_{0} \frac{b_{1}}{a + b_{1}} Q = μ \frac{a}{a + b_{1}} Q = S'_{2 m}, \end{matrix}

vagyis

b_{1} = \frac{μ}{μ_{0}} a

, azaz

μ_{0} > μ

folytán

b_{1} < a

.
Ebben a pillanatban a pálcára nem hat erő, tehát megáll. Ekkor azonban

S'_{2 m}

a nagyobb

S'_{2 t}

értékre változik, s így

S'_{1 t} < S'_{2 t}

lesz. Most tehát az 1. ék fölött csúszik meg a pálca, aminek következményeként

S'_{1 t}

a kisebb

S'_{1 m}

értékre ugrik.
Ez a mozgás addig tart, amíg

a_{1}

-nél

S''_{1 m} = S''_{2 t}

, vagyis

\begin{matrix} μ \frac{b_{1}}{a_{1} + b_{1}} Q = μ_{0} \frac{a_{1}}{a_{1} + b_{1}} Q, \end{matrix}

amiből

a_{1} = \frac{μ}{μ_{0}} b_{1} = {(\frac{μ}{μ_{0}})}^{2} a

és nyilván

a_{1} < b_{1}

.
A pálca ismét megáll és

S''_{1 m}

átugrik a nagyobb

S''_{1 t}

értékre s így

S''_{1 t} > S''_{1 m} = S''_{2 t}

miatt ismét 2. fölött történik a csúszás, s lesz egyszerre

S''_{2 t}

-ből a kisebb

S''_{2 m}

. A mozgás most

b_{2}

-ig tart, melyre

S''_{1 t} = S''_{2 m}

, vagyis

\begin{matrix} μ_{0} \frac{b_{2}}{a_{1} + b_{2}} Q = μ \frac{a_{1}}{a_{1} + b_{2}} Q, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} b_{2} = \frac{μ}{μ_{0}} a_{1} = {(\frac{μ}{μ_{0}})}^{3} a . \end{matrix}

Így folytatódik a két ék felett a csúszás mindig felváltva. Az alátámasztási pontok súlyponttól való távolságának sorozata tehát

\begin{matrix} b > a > b_{1} = \frac{μ}{μ_{0}} a > a_{1} = {(\frac{μ}{μ_{0}})}^{2} a > b_{2} = {(\frac{μ}{μ_{0}})}^{3} a > a_{2} = {(\frac{μ}{μ_{0}})}^{4} a > ..., > \\ > b_{n} = {(\frac{μ}{μ_{0}})}^{2 n - 1} a > a_{n} = {(\frac{μ}{μ_{0}})}^{2 n} a > ... . \\ Az 1. ék esetén: a; \end{matrix}