Cím: A gömb köbtartalma
Füzet: 1901/szeptember, 9 - 10. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

R. Badia, olasz tanár, a Journal de Math. Élément. 25. kötetében a gömb köbtartalmának meghatározására következő eljárást mutatja be.
1. Ha n positív egész szám, akkor az

12+22+32+...(n-1)2n3
kifejezés határértéke 13, ha n határtalanul nő.
Ha ugyanis a positív egész szám, akkor
(a+1)3-a33>a2>a3-(a-1)33,
miből, ha a helyébe rendre 1,2,3,...n-1-et teszünk s a nyert kifejezéseket összeadjuk:
1-1n33>12+22+32+...(n-1)2n3>(1-1n)33,
mely egyenlőtlenség végtelen nagy n esetében állításunkat igazolja. 2. Legyen O a félkör középpontja, AB az átmérője. AB-t felosztjuk 2n egyenlő részre, az osztási pontokon át az átmérőre merőlegeseket rajzolunk, azután ama pontokon át, melyekben eme merőlegesek a kör kerületét metszik, az átmérővel párhuzamosokat húzunk.
 
 

Ha most az egész idom az AB átmérő körül forog, akkor a keletkező gömböt körülveszi 2n henger, a gömb pedig magába zár 2(n-1) hengert.
Ha az egymásra következő hengerek alapjainak sugarát R,r1,r2,r3,...,rn-1-gyel, a nagyobb hengerek köbtartalmának összegét S-sel, a kisebbek köbtartalmának összegét pedig s-sel jelöljük, akkor:
S=(R2+r12+r22+...+rn-12)2πRn,
s=(r12+r22+r32+...+rn-12)2πRn,
miből
S-s=2πR3n.
Ha n határtalanul nő, S-s közeledik 0 felé; S folyton kisebbedik, s folyton nő s mindkettőnek értéke megközelíti a gömb köbtartalmát. Ha n végtelenné lesz, akkor a gömb köbtartalma egyenlő a változó S és s határértékével, vagyis:
V=lim.S=lim.(R2+r12+r22+...+rn-12)2πRn;
de
r12=R2(1-1n2),r22=R2(1-22n2),...,rn-12==R2(1-(n-1)2n2),
s így
V=lim.(1-12+22+...+(n-1)2n3)2πR3=43πR3.