Kezdőlap


Cím:	A gömb köbtartalma
Füzet:	1901/szeptember, 9 - 10. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

R. Badia, olasz tanár, a Journal de Math. Élément. 25. kötetében a gömb köbtartalmának meghatározására következő eljárást mutatja be.
1. Ha $n$ positív egész szám, akkor az

\begin{matrix} \frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... {(n - 1)}^{2}}{n^{3}} \end{matrix}

kifejezés határértéke

\frac{1}{3}

, ha

n

határtalanul nő.
Ha ugyanis

a

positív egész szám, akkor

\begin{matrix} \frac{{(a + 1)}^{3} - a^{3}}{3} > a^{2} > \frac{a^{3} - {(a - 1)}^{3}}{3}, \end{matrix}

miből, ha

a

helyébe rendre

1, 2, 3, ... n - 1

-et teszünk s a nyert kifejezéseket összeadjuk:

\begin{matrix} \frac{1 - \frac{1}{n^{3}}}{3} > \frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... {(n - 1)}^{2}}{n^{3}} > \frac{{(1 - \frac{1}{n})}^{3}}{3}, \end{matrix}

mely egyenlőtlenség végtelen nagy

n

esetében állításunkat igazolja. 2. Legyen

O

a félkör középpontja,

A B

az átmérője.

A B

-t felosztjuk

2 n

egyenlő részre, az osztási pontokon át az átmérőre merőlegeseket rajzolunk, azután ama pontokon át, melyekben eme merőlegesek a kör kerületét metszik, az átmérővel párhuzamosokat húzunk.

Ha most az egész idom az

A B

átmérő körül forog, akkor a keletkező gömböt körülveszi

2 n

henger, a gömb pedig magába zár

2 (n - 1)

hengert.
Ha az egymásra következő hengerek alapjainak sugarát

R, r_{1}, r_{2}, r_{3}, ..., r_{n - 1}

-gyel, a nagyobb hengerek köbtartalmának összegét

S

-sel, a kisebbek köbtartalmának összegét pedig

s

-sel jelöljük, akkor:

\begin{matrix} S = (R^{2} + r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + ... + r_{n - 1}^{2}) \frac{2 π R}{n}, \end{matrix}

\begin{matrix} s = (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{3}^{2} + ... + r_{n - 1}^{2}) \frac{2 π R}{n}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} S - s = \frac{2 π R^{3}}{n} . \end{matrix}

n

határtalanul nő,

S - s

közeledik

0

felé;

S

folyton kisebbedik, s folyton nő s mindkettőnek értéke megközelíti a gömb köbtartalmát. Ha

n

végtelenné lesz, akkor a gömb köbtartalma egyenlő a változó

S

és

s

határértékével, vagyis:

\begin{matrix} V = {lim}_{}^{} . S = {lim}_{}^{} . (R^{2} + r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + ... + r_{n - 1}^{2}) \frac{2 π R}{n}; \end{matrix}

\begin{matrix} r_{1}^{2} = R^{2} (1 - \frac{1}{n^{2}}), r_{2}^{2} = R^{2} (1 - \frac{2^{2}}{n^{2}}), ..., r_{n - 1}^{2} = = R^{2} (1 - \frac{{(n - 1)}^{2}}{n^{2}}), \end{matrix}

s így

\begin{matrix} V = {lim}_{}^{} . (1 - \frac{1^{2} + 2^{2} + ... + {(n - 1)}^{2}}{n^{3}}) 2 π R^{3} = \frac{4}{3} π R^{3} . \end{matrix}