Cím: A felületek síkmetszési idomának meghatározása
Szerző(k):  Kovaliczky Antal 
Füzet: 1901/december, 92 - 98. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A FELÜLETEK SÍKMETSZÉSI IDOMÁNAK

 
meghatározása azon esetben, ha a metsző síkot egyik nyoma és
affinitási tengelye által ábrázoljuk orth. projectióban.
 

Orthogonális projectióban a második és negyedik térnegyedet felező sík ‐ melyet coincidentiasíknak nevezünk ‐ oly tulajdonságú, hogy pontjainak mellérendelt képei [első és második kép] a két képsík egyesítése után egybeesnek.
Minden sík a coincidentiasíkot egy egyenesben metszi, a melynek pontjai a fenti pontok tulajdonságával bírnak és a melynek mellérendelt képei [első és második kép] a két képsík egyesítése után egybeesnek. Ezen egyenest a sík coincidentiavonalának vagy Menger J. szerint a sík affinitási tengelyének nevezzük.
Egy adott sík coincidentiavonalát, affinitási tengelyét úgy határozzuk meg, hogy két egyenese mellérendelt képeinek egybeeső-, coincidentiapontját fölkeressük és azokat egy egyenessel összekötjük.
Így pl. az 1. ábrán az s sík coincidentiavonalának fölkereséséhez fölhasználjuk s2 második nyomát és e egy első fővonalát. Az s2 második nyomvonal mellérendelt képei egymást az X pontban-, az e fővonal mellérendelt képei pedig a B12 pontban metszik, a coincidentiavonal vagy affinitási tengely tehát B12X egyenes, melyet ezentúl állandóan t12-vel fogunk jelölni.
 
 
1. ábra
 

A sík affinitási tengelye előnyösen felhasználható egy térbeli egyenes adott síkon való valamely födőegyenesének meghatározásánál. Ezen meghatározás látható az 1. ábrán, hol s az adott sík és a az adott egyenes és keressük a térbeli a egyenesnek az s síkon való második födőegyenesét.
Az a egyenes második vetítő síkja az s síkot egy egyenesben metszi, a melynek második képe a2-ben, második nyoma A2-ben és mellérendelt képeinek egybeesőpontja, coincidentiapontja Cl2-ben van. A metszési egyenes első képe tehát C12A1, mely a keresett második ő első képe.
Látnivaló, hogy ezen meghatározás különlegessége abban rejlik, hogy a két sík metszési vonalának, illetőleg födőegyenes mellérendelt képeinek meghatározásánál ezen vonal coincidentiapontját C12-t használtuk fel.
A következőkben bemutatjuk, hogy a födőegyenesek, illetőleg a két sík metszési vonalának ilynemű meghatározása miképpen használható fel a felületek síkmetszési idomának meghatározásánál.
A II. ábrán egy nyolczoldalú szabályos, egyenes gúla két mellérendelt képe van adva, s ugyanott a metsző sík s1 első nyoma és t12 affinitási tengelye által van ábrázolva
 
 
II. ábra
 

A metsző síkot nem tetszőlegesen vettük fel, hanem kikötöttük, hogy az a gúla tengelyének O pontján menjen át, továbbá, hogy az O ponton átmenő második fővonala OB egyenes legyen. Meghatároztuk az OB egyenes első nyomát A1-t és coincidentiapontját B12-t és ezen pontokon át vezettük a metsző sík első nyomát s1-t és affinitási tengelyét t12-t, úgy hogy ezen pontokat a projectiótengely egyik pontjával, jelen esetben az x ponttal kötöttük össze. Az x pont felvételénél arra ügyeltünk, hogy általa az affinitási tengely olyan helyzetet kapjon, a melyben az a gúla oldalélei mellérendelt képeivel és pedig első vagy második képeivel metszésbe hozható.
A tengely O pontja közös pontja mindazon egyeneseknek, a melyekben a metsző síkot mindazon síkok metszik, a melyeket a gúla tengelyén fektetünk át.
A metszési idom egy nyolczszög, melynek csúcspontjait úgy határozzuk meg, hogy az egyes oldaléleknek a metsző síkon való nyomát fölkeressük. Keressük meg az S3,S7 oldaléleknek a metsző síkon való nyomát.
Az S3,S7 oldalélek első vetítősíkja a metszősíkot egy egyenesben metszi, mely ezen élek első födőegyenese, és a melynek első képe S1I-ben, első nyoma A1-ben és coincidentiapontja B12-ben van; a metszési egyenes második képe tehát B12O2, mely az S3,S7 élek második képeit a keresett pontok második képeiben III2,VII2-ben metszi, a melyeknek mellérendelt képei III1,VII1-ben vannak.
Az S8,S4 oldalélek nyompontjainak második képeit VIII2,IV2-t, ugyancsak ezen élek első födőegyenesével határoztuk meg. A mikor is a födőegyenes coincidentiapontját C12-ben, a födőegyenes második képét pedig C12O2-ben kaptuk meg. A VIII2,IV2 pontok mellérendelt képei VIII1,IV1-ben vannak. Ismervén az S8,S4 oldalélek nyompontjainak első képeit VIII1,IV1-t, az S6,S2 oldalélek második födőegyeneseinek első képeit úgy kapjuk meg, hogy ezeknek concidentiapontjait H12,F12-t a VIII1,IV1-el összekötjük. És ott a hol ezen egyenesek az S6,S2 oldalélek első képeit metszik, ott vannak ezen élek nyompontjainak első képei VI1,II1. Ez utóbbi pontok mellérendelt képének VI2,II2-nek meghatározásánál felhasználhatjuk azon affinitást is, mely a metszési idom első és második képe között létezik és a melynél az affinitási tengelyt a metsző sík t12 egyenese adja. Így határoztuk meg a II1 pont mellérendelt képét II2-t, a mikor a III1II1 egyenes coincidentiapontja T12-ben és mellérendelt képe T12III2-ben van.
Az S1,S5 oldalélek nyompontjainak első képeit I1,V1-t itt is csak azon collinear-rokonság alapján határozhatjuk meg, mely a gúla alap és metszési idoma között fennáll; ellenben az I1,V1 pontok mellérendelt képének I2,V2-nek meghatározásánál ismét felhasználjuk azon affinitást, mely a metszési idom első és második képe között van.
A III. ábrán egy ferde kúpot parabola szerint metszünk oly síkkal, mely s1 első nyoma és t2 affinitási tengelye által van adva orth. projectióban.
 
 
III. ábra
 

A metsző síkot azon föltétel mellett vettük fel, hogy az a kúp tengelyének k pontján menjen át, továbbá, hogy a kúp Sc alkotóiaval párhuzamosan haladjon. Ezen sík első nyomát s1-t és affinitási tengelyét t12-t úgy határoztuk meg, hogy a k ponton át az Sc alkotóval parhuzamosan vont egyenesnek első nyomát A1-t és coincidentiapontját B12-t meghatározván ezen pontokat a projectiótengely egyik pontjával összekötöttük. De ha azt is kívánjuk, hogy a metsző sík párhuzamos legyen a kúp azon érintő síkjával, mely a kúpot az Sc alkotó hosszában érinti, és a melynek első nyoma S1I-ben van, akkor annak első nyomát s1-t az S1I-el párhuzamosan vezetjük és meghatározván annak tengelypontját x-t, ezt a B12-vel összekötjük.
A kúp tengelyének k pontja, közös pontja mindazon egyeneseknek, a melyekben a metsző síkot mindazon síkok metszik, a melyeket a kúp tengelyén SO-on fektethetünk át.
A metszési idom parabola, a melynek legmagasabb pontja az S1 alkotón van, még pedig azért, mert a metszési idom ezen pontjának érintője, a metsző sík első fővonala. Határozzuk meg ezen pontot.
Az S1 alkotón és az SO kúp tengelyen fektetett sík a metsző síkot egy egyenesben metszi, a melynek első nyoma A1-ben, első képe A1k1-ben és coincidentiapontja B12-ben van; az egyenes második képe tehát B12k2; és ott, a hol Bk egyenes mellérendelt képei az S1 alkotó mellérendelt képeit metszik, ott vannak az S1 alkotónak a metsző síkon való nyomának mellérendelt képei I1,I2.
Az S2,S3,S4,S5 kúp alkotók nyompontjait a metsző síkon többé-kevésbé ugyanilyen eljárással határoztuk meg, mint az S1 alkotó nyompontját. Határozzuk meg az S4,S5 alkotók nyompontjait.
Az S4,S5 alkotókon és az SO kúptengelyen átfektetett sík ‐ a melynek első nyoma 45 egyenes ‐ a metsző síkot egy első fővonalban metszi, a melynek első képe k1G12-ben, coincidentiapontja pedig G12-ben van; a metszési egyenes második képe tehát G12k2. És ott, a hol ezen metszési egyenes mellérendelt képei találják az S4,S5 alkotók mellérendelt képeit, ott vannak a keresett átdöfési pontok mellérendelt képei IV1,IV2 illetőleg V1,V2.
Az S3 alkotó a metsző síkot egy pontban döfi, a melynek első képe III1-ben van. Ezen pontot a fentebbiek alapján az F1k1 egyenessel határoztuk meg. De ezen egyenes mellérendelt képe H12k2 nem alkalmas a III1 pont mellérendelt képének III2-nek a meghatározására, mert H12k2 összeesik az S3 alkotó második képével. Ennélfogva a III1-nek mellérendelt képét III2-t a metsző síknak a III ponton átmenő első fővonalával határozzuk meg, a mikor is a fővonal első képe III1E2-ben, coincidentiapontja E12-ben és második képe E12III2-ben van.
Az S2 alkotó nyompontjának II-nek meghatározását az Lk egyenessel eszközöltük. De az Lk egyenes coincidentiapontja kieshetik a táblasíkból; ilyenkor tehát az Lk egyenes második képét D12k2-t úgy határozzuk meg, hogy L1-nek mellérendelt képét L2-t a k2-vel összekötjük.
A IV. ábrán egy forgási ellipsoid két mellérendelt képe van adva, s ugyanott a metsző sík s1 első nyoma és t12 affinitási tengelye által van ábrázolva.
 
 
IV. ábra
 

A metsző síkot azon föltétel mellett vettük fel, hogy az az ellipsoid tengelyének k pontján menjen át, továbbá, hogy a k ponton átmenő második fővonala kA egyenes legyen. Meghatározván kA egyenes B1 első nyomát és mellérendelt képeinek egybeeső-, coincidentiapontját A12-t, ezen pontokon át vezettük a metsző sík s1 első nyomát és t12 affinitási tengelyét. A metsző sík az ellipsoidot egy ellipsisben metszi, a melynek egyik tengelye azon pontok összeköttetése, a melyek az ellipsoid H delőjén feküsznek. Keressük meg ezen pontokat.
A H délősík a metsző síkot egy egyenesben metszi, a melynek első képe H1-ben, első nyoma C1-ben és coincidentiapontja D12-ben van; a metszési egyenes második képe tehát D12k2, mely a H délő második képét a keresett pontokban metszi. De a H délő második képe nincs előállítva; hogy tehát a nevezett pontokat mégis előállíthassuk, a H délőt a benne fekvő Dk egyenessel együtt az ellipsoid tengelye körül beforgatjuk a fődélőbe. Beforgatás után a H délő a fődélővel esik össze, a Dk egyenes második képe ‐ minthogy C1 első nyoma beforgatás után (C1)-be mellérendelt képe (C2)-be jutott ‐ (C2)k2-be jön, mely helyzetben a beforgatott délőt (I2),(II2) pontokban metszi, a mely pontok visszaforgatás után I2,II2-be, s ezeknek mellérendelt képei I1,II1-be jönnek.
A metszési idom érintői az I,II pontokban a metsző sík első fővonalai, ezért ezeknek összeköttetése a kimetszett ellipsis egyik tengelye. A másik tengely az I,II-nek O felezési pontján át a metsző sík első nyomával párhuzamosan halad, tehát az a metsző sík első fővonala. Ennek végpontjait egyenközű kör segítségével határozzuk meg.
Az SII egyenközű kör síkja a metsző síkot egy egyenesben metszi, mely a metsző sík első fővonala, s melynek második képe S2II-ben és coincidentiapontja F12-ben van; a metszési egyenes első képe tehát az F12 ponton át a metsző sík s1 első nyomával párhuzamosan halad és ott a hol a kimetszett egyenközű kör első képét metszi, ott vannak a keresett végpontok első képei III1,IV1, melynek mellérendelt képei III2,IV2-ben vannak.
Ugyanilyen eljárással határoztuk meg a metszési idom azon pontjait, a melyek az equator körön feküsznek és a melyeknek első képeik V1,VI1-ben vannak. Ez esetben a két sík metszési vonalának coincidentiapontja E12-ben és első képe A12k2-ben van.
A metszési idom azon pontjait, melyek a fődélőn feküsznek és melyeknek második képeik m2,n2-ben vannak, meghatározzuk a fődélő és metsző sík metszési vonalának coincidentiapontja segítségével; e pont A12-ben, e metszési vonal második képe pedig A12k2-ben van.
 

Debreczen.