Cím:	A felületek síkmetszési idomának meghatározása
Szerző(k):	Kovaliczky Antal
Füzet:	1901/december, 92 - 98. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A FELÜLETEK SÍKMETSZÉSI IDOMÁNAK   meghatározása azon esetben, ha a metsző síkot egyik nyoma és affinitási tengelye által ábrázoljuk orth. projectióban.   Orthogonális projectióban a második és negyedik térnegyedet felező sík ‐ melyet coincidentiasíknak nevezünk ‐ oly tulajdonságú, hogy pontjainak mellérendelt képei [első és második kép] a két képsík egyesítése után egybeesnek. Minden sík a coincidentiasíkot egy egyenesben metszi, a melynek pontjai a fenti pontok tulajdonságával bírnak és a melynek mellérendelt képei [első és második kép] a két képsík egyesítése után egybeesnek. Ezen egyenest a sík coincidentiavonalának vagy Menger J. szerint a sík affinitási tengelyének nevezzük. Egy adott sík coincidentiavonalát, affinitási tengelyét úgy határozzuk meg, hogy két egyenese mellérendelt képeinek egybeeső-, coincidentiapontját fölkeressük és azokat egy egyenessel összekötjük. Így pl. az $1.$ ábrán az $s$ sík coincidentiavonalának fölkereséséhez fölhasználjuk $s_2$ második nyomát és $e$ egy első fővonalát. Az $s_2$ második nyomvonal mellérendelt képei egymást az $X$ pontban-, az $e$ fővonal mellérendelt képei pedig a $B_{12}$ pontban metszik, a coincidentiavonal vagy affinitási tengely tehát $B_{12}X$ egyenes, melyet ezentúl állandóan $t_{12}$-vel fogunk jelölni.     1. ábra   A sík affinitási tengelye előnyösen felhasználható egy térbeli egyenes adott síkon való valamely födőegyenesének meghatározásánál. Ezen meghatározás látható az $1.$ ábrán, hol $s$ az adott sík és $a$ az adott egyenes és keressük a térbeli $a$ egyenesnek az $s$ síkon való második födőegyenesét. Az $a$ egyenes második vetítő síkja az $s$ síkot egy egyenesben metszi, a melynek második képe $a_2$-ben, második nyoma $A_2$-ben és mellérendelt képeinek egybeesőpontja, coincidentiapontja $C_{l2}$-ben van. A metszési egyenes első képe tehát $C_{12}{A}_1$, mely a keresett második ő első képe. Látnivaló, hogy ezen meghatározás különlegessége abban rejlik, hogy a két sík metszési vonalának, illetőleg födőegyenes mellérendelt képeinek meghatározásánál ezen vonal coincidentiapontját $C_{12}$-t használtuk fel. A következőkben bemutatjuk, hogy a födőegyenesek, illetőleg a két sík metszési vonalának ilynemű meghatározása miképpen használható fel a felületek síkmetszési idomának meghatározásánál. A $II\mathrm{.}$ ábrán egy nyolczoldalú szabályos, egyenes gúla két mellérendelt képe van adva, s ugyanott a metsző sík $s_1$ első nyoma és $t_{12}$ affinitási tengelye által van ábrázolva     II. ábra   A metsző síkot nem tetszőlegesen vettük fel, hanem kikötöttük, hogy az a gúla tengelyének $O$ pontján menjen át, továbbá, hogy az $O$ ponton átmenő második fővonala $OB$ egyenes legyen. Meghatároztuk az $OB$ egyenes első nyomát $A_1$-t és coincidentiapontját $B_{12}$-t és ezen pontokon át vezettük a metsző sík első nyomát $s_1$-t és affinitási tengelyét $t_{12}$-t, úgy hogy ezen pontokat a projectiótengely egyik pontjával, jelen esetben az $x$ ponttal kötöttük össze. Az $x$ pont felvételénél arra ügyeltünk, hogy általa az affinitási tengely olyan helyzetet kapjon, a melyben az a gúla oldalélei mellérendelt képeivel és pedig első vagy második képeivel metszésbe hozható. A tengely $O$ pontja közös pontja mindazon egyeneseknek, a melyekben a metsző síkot mindazon síkok metszik, a melyeket a gúla tengelyén fektetünk át. A metszési idom egy nyolczszög, melynek csúcspontjait úgy határozzuk meg, hogy az egyes oldaléleknek a metsző síkon való nyomát fölkeressük. Keressük meg az $S\mathrm{3,}S7$ oldaléleknek a metsző síkon való nyomát. Az $S\mathrm{3,}S7$ oldalélek első vetítősíkja a metszősíkot egy egyenesben metszi, mely ezen élek első födőegyenese, és a melynek első képe $S_1^{\text{I}}$-ben, első nyoma $A_1$-ben és coincidentiapontja $B_{12}$-ben van; a metszési egyenes második képe tehát $B_{12}{O}_2$, mely az $S\mathrm{3,}S7$ élek második képeit a keresett pontok második képeiben $II{I}_2\mathrm{,}VI{I}_2$-ben metszi, a melyeknek mellérendelt képei $II{I}_1\mathrm{,}VI{I}_1$-ben vannak. Az $S\mathrm{8,}S4$ oldalélek nyompontjainak második képeit $VII{I}_2\mathrm{,}I{V}_2$-t, ugyancsak ezen élek első födőegyenesével határoztuk meg. A mikor is a födőegyenes coincidentiapontját $C_{12}$-ben, a födőegyenes második képét pedig $C_{12}{O}_2$-ben kaptuk meg. A $VII{I}_2\mathrm{,}I{V}_2$ pontok mellérendelt képei $VII{I}_1\mathrm{,}I{V}_1$-ben vannak. Ismervén az $S\mathrm{8,}S4$ oldalélek nyompontjainak első képeit $VII{I}_1\mathrm{,}I{V}_1$-t, az $S\mathrm{6,}S2$ oldalélek második födőegyeneseinek első képeit úgy kapjuk meg, hogy ezeknek concidentiapontjait $H_{12}\mathrm{,}{F}_{12}$-t a $VII{I}_1\mathrm{,}I{V}_1$-el összekötjük. És ott a hol ezen egyenesek az $S\mathrm{6,}S2$ oldalélek első képeit metszik, ott vannak ezen élek nyompontjainak első képei $V{I}_1\mathrm{,}I{I}_1$. Ez utóbbi pontok mellérendelt képének $V{I}_2\mathrm{,}I{I}_2$-nek meghatározásánál felhasználhatjuk azon affinitást is, mely a metszési idom első és második képe között létezik és a melynél az affinitási tengelyt a metsző sík $t_{12}$ egyenese adja. Így határoztuk meg a $I{I}_1$ pont mellérendelt képét $I{I}_2$-t, a mikor a $II{I}_{1}I{I}_1$ egyenes coincidentiapontja $T_{12}$-ben és mellérendelt képe $T_{12}II{I}_2$-ben van. Az $S\mathrm{1,}S5$ oldalélek nyompontjainak első képeit $I_1\mathrm{,}{V}_1$-t itt is csak azon collinear-rokonság alapján határozhatjuk meg, mely a gúla alap és metszési idoma között fennáll; ellenben az $I_1\mathrm{,}{V}_1$ pontok mellérendelt képének $I_2\mathrm{,}{V}_2$-nek meghatározásánál ismét felhasználjuk azon affinitást, mely a metszési idom első és második képe között van. A $III$. ábrán egy ferde kúpot parabola szerint metszünk oly síkkal, mely $s_1$ első nyoma és $t_2$ affinitási tengelye által van adva orth. projectióban.     III. ábra   A metsző síkot azon föltétel mellett vettük fel, hogy az a kúp tengelyének $k$ pontján menjen át, továbbá, hogy a kúp $Sc$ alkotóiaval párhuzamosan haladjon. Ezen sík első nyomát $s_1$-t és affinitási tengelyét $t_{12}$-t úgy határoztuk meg, hogy a $k$ ponton át az $Sc$ alkotóval parhuzamosan vont egyenesnek első nyomát $A_1$-t és coincidentiapontját $B_{12}$-t meghatározván ezen pontokat a projectiótengely egyik pontjával összekötöttük. De ha azt is kívánjuk, hogy a metsző sík párhuzamos legyen a kúp azon érintő síkjával, mely a kúpot az $Sc$ alkotó hosszában érinti, és a melynek első nyoma $S_1^I$-ben van, akkor annak első nyomát $s_1$-t az $S_1^I$-el párhuzamosan vezetjük és meghatározván annak tengelypontját $x$-t, ezt a $B_{12}$-vel összekötjük. A kúp tengelyének $k$ pontja, közös pontja mindazon egyeneseknek, a melyekben a metsző síkot mindazon síkok metszik, a melyeket a kúp tengelyén $SO$-on fektethetünk át. A metszési idom parabola, a melynek legmagasabb pontja az $S1$ alkotón van, még pedig azért, mert a metszési idom ezen pontjának érintője, a metsző sík első fővonala. Határozzuk meg ezen pontot. Az $S1$ alkotón és az $SO$ kúp tengelyen fektetett sík a metsző síkot egy egyenesben metszi, a melynek első nyoma $A_1$-ben, első képe $A_1{k}_1$-ben és coincidentiapontja $B_{12}$-ben van; az egyenes második képe tehát $B_{12}{k}_2$; és ott, a hol $Bk$ egyenes mellérendelt képei az $S1$ alkotó mellérendelt képeit metszik, ott vannak az $S1$ alkotónak a metsző síkon való nyomának mellérendelt képei $I_1\mathrm{,}{I}_2$. Az $S\mathrm{2,}S\mathrm{3,}S\mathrm{4,}S5$ kúp alkotók nyompontjait a metsző síkon többé-kevésbé ugyanilyen eljárással határoztuk meg, mint az $S1$ alkotó nyompontját. Határozzuk meg az $S\mathrm{4,}S5$ alkotók nyompontjait. Az $S\mathrm{4,}S5$ alkotókon és az $SO$ kúptengelyen átfektetett sík ‐ a melynek első nyoma $45$ egyenes ‐ a metsző síkot egy első fővonalban metszi, a melynek első képe $k_1{G}_{12}$-ben, coincidentiapontja pedig $G_{12}$-ben van; a metszési egyenes második képe tehát $G_{12}{k}_2$. És ott, a hol ezen metszési egyenes mellérendelt képei találják az $S\mathrm{4,}S5$ alkotók mellérendelt képeit, ott vannak a keresett átdöfési pontok mellérendelt képei $I{V}_1\mathrm{,}I{V}_2$ illetőleg $V_1\mathrm{,}{V}_2$. Az $S3$ alkotó a metsző síkot egy pontban döfi, a melynek első képe $II{I}_1$-ben van. Ezen pontot a fentebbiek alapján az $F_1{k}_1$ egyenessel határoztuk meg. De ezen egyenes mellérendelt képe $H_{12}{k}_2$ nem alkalmas a $II{I}_1$ pont mellérendelt képének $II{I}_2$-nek a meghatározására, mert $H_{12}{k}_2$ összeesik az $S3$ alkotó második képével. Ennélfogva a $II{I}_1$-nek mellérendelt képét $II{I}_2$-t a metsző síknak a $III$ ponton átmenő első fővonalával határozzuk meg, a mikor is a fővonal első képe $II{I}_1{E}_2$-ben, coincidentiapontja $E_{12}$-ben és második képe $E_{12}II{I}_2$-ben van. Az $S2$ alkotó nyompontjának $II$-nek meghatározását az $Lk$ egyenessel eszközöltük. De az $Lk$ egyenes coincidentiapontja kieshetik a táblasíkból; ilyenkor tehát az $Lk$ egyenes második képét $D_{12}{k}_2$-t úgy határozzuk meg, hogy $L_1$-nek mellérendelt képét $L_2$-t a $k_2$-vel összekötjük. A $IV$. ábrán egy forgási ellipsoid két mellérendelt képe van adva, s ugyanott a metsző sík $s_1$ első nyoma és $t_{12}$ affinitási tengelye által van ábrázolva.     IV. ábra   A metsző síkot azon föltétel mellett vettük fel, hogy az az ellipsoid tengelyének $k$ pontján menjen át, továbbá, hogy a $k$ ponton átmenő második fővonala $kA$ egyenes legyen. Meghatározván $kA$ egyenes $B_1$ első nyomát és mellérendelt képeinek egybeeső-, coincidentiapontját $A_{12}$-t, ezen pontokon át vezettük a metsző sík $s_1$ első nyomát és $t_{12}$ affinitási tengelyét. A metsző sík az ellipsoidot egy ellipsisben metszi, a melynek egyik tengelye azon pontok összeköttetése, a melyek az ellipsoid $H$ delőjén feküsznek. Keressük meg ezen pontokat. A $H$ délősík a metsző síkot egy egyenesben metszi, a melynek első képe $H_1$-ben, első nyoma $C_1$-ben és coincidentiapontja $D_{12}$-ben van; a metszési egyenes második képe tehát $D_{12}{k}_2$, mely a $H$ délő második képét a keresett pontokban metszi. De a $H$ délő második képe nincs előállítva; hogy tehát a nevezett pontokat mégis előállíthassuk, a $H$ délőt a benne fekvő $Dk$ egyenessel együtt az ellipsoid tengelye körül beforgatjuk a fődélőbe. Beforgatás után a $H$ délő a fődélővel esik össze, a $Dk$ egyenes második képe ‐ minthogy $C_1$ első nyoma beforgatás után $\left(C_1\right)$-be mellérendelt képe $\left(C_2\right)$-be jutott ‐ $\left(C_2\right)k_2$-be jön, mely helyzetben a beforgatott délőt $\left(I_2\right)\mathrm{,}\left(I{I}_2\right)$ pontokban metszi, a mely pontok visszaforgatás után $I_2\mathrm{,}I{I}_2$-be, s ezeknek mellérendelt képei $I_1\mathrm{,}I{I}_1$-be jönnek. A metszési idom érintői az $I\mathrm{,}II$ pontokban a metsző sík első fővonalai, ezért ezeknek összeköttetése a kimetszett ellipsis egyik tengelye. A másik tengely az $I\mathrm{,}II$-nek $O$ felezési pontján át a metsző sík első nyomával párhuzamosan halad, tehát az a metsző sík első fővonala. Ennek végpontjait egyenközű kör segítségével határozzuk meg. Az $S^{II}$ egyenközű kör síkja a metsző síkot egy egyenesben metszi, mely a metsző sík első fővonala, s melynek második képe $S_2^{II}$-ben és coincidentiapontja $F_{12}$-ben van; a metszési egyenes első képe tehát az $F_{12}$ ponton át a metsző sík $s_1$ első nyomával párhuzamosan halad és ott a hol a kimetszett egyenközű kör első képét metszi, ott vannak a keresett végpontok első képei $II{I}_1\mathrm{,}I{V}_1$, melynek mellérendelt képei $II{I}_2\mathrm{,}I{V}_2$-ben vannak. Ugyanilyen eljárással határoztuk meg a metszési idom azon pontjait, a melyek az equator körön feküsznek és a melyeknek első képeik $V_1\mathrm{,}V{I}_1$-ben vannak. Ez esetben a két sík metszési vonalának coincidentiapontja $E_{12}$-ben és első képe $A_{12}{k}_2$-ben van. A metszési idom azon pontjait, melyek a fődélőn feküsznek és melyeknek második képeik $m_2\mathrm{,}{n}_2$-ben vannak, meghatározzuk a fődélő és metsző sík metszési vonalának coincidentiapontja segítségével; e pont $A_{12}$-ben, e metszési vonal második képe pedig $A_{12}{k}_2$-ben van.   Debreczen.