Cím: Vázlatok a mathematika történetéből 1. (Diokles)
Szerző(k):  Baumgartner Alajos 
Füzet: 1901/szeptember, 1 - 3. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Diokles.
 
(Kr. e. II. század.)
 

Diokles munkássága is a delosi probléma megoldásainak gyarapításában nyilatkozott. Az az eljárás, hogy két adott mennyiség közé két mértani középarányost kell ékelni, megadta a problemának szinte kanonikus alakját ez aránylatban:
a:x=x:y=y:b.
Plato óta mindig ezt az x-et: a kisebbik középarányost iparkodtak meghatározni és a probléma megoldásai csakis az x meghatározásának módja szerint különböztek egymástól. Plato mutatta be a feladatot a legegyszerűbb figuráczióban, a probléma későbbi megoldói egyre komplikáltabb és körmönfontabb összefüggések alapján tárgyalták a kérdést. E tekintetben körülbelül Archytas és Nikomedes érték el a tetőpontot (V. évf. 82. lap és VIII. évf. 129 lap); talán egy fokozattal egyszerűbb megoldást mutatott be Diokles ugyancsak egy görbe segélyével, melynek neve repkényvonal (cissois).
Diokles eljárása szerint úgy szerkesztjük meg ezt a görbét, hogy egy félkör átmérőjére merőlegesen a középponttól jobbról és balról szimmetrikusan fekvő C és D pontokon át (l. ábra) CE és DF húrokat rajzolunk.
 
 

Kössük össze az E pontot A-val, a B pontot pedig F-vel; az AE a DF húrt H pontban, a BF a CE húrt G pontban metszi; e G és H pontok máris a görbének pontjai. Az ily módon származott görbének két ága van, melyek csúcspontot alkotnak. Mivel az átmérőre merőleges félhúr mértani közép az átmérő szeletei között, azért
AD:DF=DF:DB.
A BDF és BCG háromszögek hasonlók egymáshoz s így:
DF:DB=CG:CB;
ez az aránylat hozzácsatolható az előbbihez, úgy hogy:
AD:DF=DF:DB=CG:CB.
Mivel azonban AD=CB,DF=CE és DB=AC, úgy:
CB:CE=CE:AC=CG:CB.
Fordítsuk meg eme aránylat mind három arányában a tagokat és cseréljük fel egymással az első és második arányt, akkor ezt a folytonos arányt nyerjük:
AC:CE=CE:CB=CB:CG.
Ha két adott egyenes: a és b közé akarjuk ékelni a két középarányost: x-et és y-t, úgy járunk el, hogy a félkör átmérőjére felrakjuk az AI=a távolságot és erre merőlegesen az I ponton keresztül az IK=b távolságot.
 
 

Húzzuk meg az AK egyenest, mely a görbét G pontban metszi és bocsássuk a G pontból az átmérőre a GC egyenest; ekkor:
a:b=AC:CG.
Mivel a görbe vonal tulajdonsága alapján
AC:CE=CE:CB=CB:CG
és a feltétel értelmében
a:x=x:y=y:b.
azért
a:AC=x:CE=y:CB=b:CG.

Diokles ezenkívül még egy feladattal foglalkozott, melyet már Archimedes kitűzött és tárgyalt is (VII. évf. 89. lap), hogy a gömb egy sík által adott arányban metszendő két részre; ezt a feladatot Diokles a ("Gyujtótükrökről") czimű művében kúpszeletek segélyével oldotta meg.