Cím: Variáczió, permutáczió, kombináczió 2.
Szerző(k):  Antal Márkus 
Füzet: 1901/december, 87 - 89. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
(Ismétléssel.)
 

Ha megengedjük, hogy a variáczió- és kombináczió- csoportok elemei között ugyanazon elem többször is előforduljon, akkor ismétléssel alkotott variáczió ‐ illetőleg kombináczió ‐ csoportokról beszélhetünk, melyeknek számát Vri(n), illetőleg Cri(n) jelöljük. Ha pedig az adott elemek között egyenlők is vannak, azaz a pl. α-szor, b pl. β-szor stb. fordul elő, akkor ezen elemek permutáczióit meg kell különböztetnünk azoktól, melyekben egyenlő elemek nem fordulhatnak elő. Az ilyen permutácziók számát Pn(aα,bβ,cγ,...lλ)-val jelöljük, a hol α,β,γ,...λ1-gyel is lehetnek egyenlők és azt mutatják, hogy az egyes elemek hányszor fordulnak elő minden csoportban. Így tehát
α+β+γ+...+λ=n.
Czélunk első sorban a Vri(n)-et kiszámítani. Képzeljük e végből, hogy az összes n elemből ismétléssel alkotott (r-1)-ed osztályú variáczió-csoportokat felírtuk. Minthogy ugyanazon elem többször is előfordulhat, azért minden (r-1)-ed osztályú csoporthoz most n új elemet fűzhetünk, vagyis:
Vri(n)=nVr-1i(n),
épp így
Vr-1i(n)=nVr-2i(n),
...
V2i(n)=nV1i(n)
V1i(n)=V1(n)=n.
Eme egyenleteket egymással megszorozva, nyerjük, hogy:
Vri(n)=nr.
Vagyis az n elemből ismétléssel alkotott r-ed osztályú variáczió-csoportok számát nyerjük, ha n-et az r-edik hatványra emeljük.
Hogy a Cri(n)-et kiszámíthassuk, következőképpen járunk el. Képzeljük, hogy az n elemből, ismétléssel alkotott összes r-ed osztályú kombinácziócsoportokat felírtuk; akkor, minthogy minden csoportban r elem van, az összes felírt elemek száma rCri(n), vagyis minden egyes elem (pl. x) rnCri(n)-szer fordul elő. Ezen (x) elemek számát másként is előállíthatjuk. Ha ugyanis kiválasztjuk mindazon csoportokat, a melyek x-et tartalmazzák és mindegyikből az x-et egyszer elhagyjuk, akkor visszamaradnak az adott n elemből, ismétléssel alkotott összes (r-1) osztályú kombináczió-csoportok, Ezúttal, tehát Cr-1i(n) elemet hagytunk el és minthogy a Cr-1i(n) kombináczió-csoportban x még r-1nCr-1i(n)-szer előfordul, azért
rnCri(n)=Cr-1i(n)+r-1nCr-1i(n),
miből
rCri(n)=(n+r-1)Cr-1i(n),
épp így
(r-1)Cr-1i(n)=(n+r-2)Cr-2i(n),
...
2C2i(n)=(n+1)C1i(n),
C1i(n)=C1(n)=n.
Eme egyenleteket egymással megszorozva nyerjük, hogy:
Cri(n)=(n+r-1)(n+r-2)...(n+1)n123...r=(n+r-1r)=Cr(n+r-1).
Vagyis az n elemből, ismétléssel alkotott r-ed osztályú kombinácziók száma akkora, mint az (n+r-l) elemből, ismétlés nélkül alkotott r-ed osztályú kombinációk száma.
Ezek alapján könnyen kimutatható, hogy
Cri(n)=Cr-1i(n)+Cri(n-1).
Ha ez utolsó képlet érvényességét minden esetben fenn akarjuk tartani, akkor a
C1i(n)=C0i(n)+C1i(n-1)
egyenletből
C0i(n)=1
Végül még ama permutácziók számát kell kiszámítanunk, melyekben az elemek ismétlődnek. Legyen az n adott :
aa...abb...b...ll...l,
mely csoportban az a,b,...,l elemek rendre α,β,...,λ-szor forduljanak elő, miért is
α+β+...+λ=n.
Hogy a csoportok számát meghatározhassuk, adjunk az egyenlő elemeknek indexeket és tegyük fel, hogy az így felírt elemek mind különbözők:
a1a2...aαb1b2...bβc1c2...cγ...l1l2...lγ.
Eme most különbözőnek vett n elem permutáczióinak száma P(n). A P(α) csoportokban egymás mellett megmaradnak az a-k, P(β)-ban a b-k és í. t' P(λ)-ban az l-ek. Ha tehát az a-k,b-k,...l-ek identikus elemek lesznek, akkor a különböző permutácziók száma P(α)-szor, P(β)-szor, ...P(λ)-szor kisebb lesz; vagyis:
Pn=(aα,bβ,...lλ)=P(n)P(α)P(β)...P(λ)=n!α!β!...λ!.