Cím:	Variáczió, permutáczió, kombináczió 2.
Szerző(k):	Antal Márkus
Füzet:	1901/december, 87 - 89. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   (Ismétléssel.)   Ha megengedjük, hogy a variáczió- és kombináczió- csoportok elemei között ugyanazon elem többször is előforduljon, akkor ismétléssel alkotott variáczió ‐ illetőleg kombináczió ‐ csoportokról beszélhetünk, melyeknek számát $V_r^{\text{i}}\left(n\right)$, illetőleg $C_r^{\text{i}}\left(n\right)$ jelöljük. Ha pedig az adott elemek között egyenlők is vannak, azaz $a$ pl. $\alpha$-szor, $b$ pl. $\beta$-szor stb. fordul elő, akkor ezen elemek permutáczióit meg kell különböztetnünk azoktól, melyekben egyenlő elemek nem fordulhatnak elő. Az ilyen permutácziók számát $P_n\left(a^{\alpha }\mathrm{,}{b}^{\beta }\mathrm{,}{c}^{\gamma }\mathrm{,}\text{...}{l}^{\lambda }\right)$-val jelöljük, a hol $\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{,}\gamma \mathrm{,}\text{...}\lambda 1$-gyel is lehetnek egyenlők és azt mutatják, hogy az egyes elemek hányszor fordulnak elő minden csoportban. Így tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\text{...}+\lambda =n\mathrm{.}}\end{array}$ Czélunk első sorban a $V_r^{\text{i}}\left(n\right)$-et kiszámítani. Képzeljük e végből, hogy az összes $n$ elemből ismétléssel alkotott $\left(r-1\right)$-ed osztályú variáczió-csoportokat felírtuk. Minthogy ugyanazon elem többször is előfordulhat, azért minden $\left(r-1\right)$-ed osztályú csoporthoz most $n$ új elemet fűzhetünk, vagyis: $\begin{array}{c}{\displaystyle V_r^{\text{i}}\left(n\right)=n\cdot V_{r-1}^{\text{i}}\left(n\right)\mathrm{,}}\end{array}$ épp így $\begin{array}{c}{\displaystyle V_{r-1}^{\text{i}}\left(n\right)=n\cdot V_{r-2}^{\text{i}}\left(n\right)\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{...}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle V_2^{\text{i}}\left(n\right)=n\cdot V_1^{\text{i}}\left(n\right)}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle V_1^{\text{i}}\left(n\right)=V_1\left(n\right)=n\mathrm{.}}\end{array}$ Eme egyenleteket egymással megszorozva, nyerjük, hogy: $\begin{array}{c}{\displaystyle V_r^{\text{i}}\left(n\right)=n^{\text{r}}\mathrm{.}}\end{array}$ Vagyis az $n$ elemből ismétléssel alkotott $r$-ed osztályú variáczió-csoportok számát nyerjük, ha $n$-et az $r$-edik hatványra emeljük. Hogy a $C_r^{\text{i}}\left(n\right)$-et kiszámíthassuk, következőképpen járunk el. Képzeljük, hogy az $n$ elemből, ismétléssel alkotott összes $r$-ed osztályú kombinácziócsoportokat felírtuk; akkor, minthogy minden csoportban $r$ elem van, az összes felírt elemek száma $r\cdot C_r^{\text{i}}\left(n\right)$, vagyis minden egyes elem (pl. $x$) $\frac{r}{n}\cdot C_r^{\text{i}}\left(n\right)$-szer fordul elő. Ezen $\left(x\right)$ elemek számát másként is előállíthatjuk. Ha ugyanis kiválasztjuk mindazon csoportokat, a melyek $x$-et tartalmazzák és mindegyikből az $x$-et egyszer elhagyjuk, akkor visszamaradnak az adott $n$ elemből, ismétléssel alkotott összes $\left(r-1\right)$ osztályú kombináczió-csoportok, Ezúttal, tehát $C_{r-1}^{\text{i}}\left(n\right)$ elemet hagytunk el és minthogy a $C_{r-1}^{\text{i}}\left(n\right)$ kombináczió-csoportban $x$ még $\frac{r-1}{n}{C}_{r-1}^{\text{i}}\left(n\right)$-szer előfordul, azért $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{r}{n}{C}_r^{\text{i}}\left(n\right)=C_{r-1}^{\text{i}}\left(n\right)+\frac{r-1}{n}{C}_{r-1}^{\text{i}}\left(n\right)\mathrm{,}}\end{array}$ miből $\begin{array}{c}{\displaystyle r\cdot C_r^{\text{i}}\left(n\right)=\left(n+r-1\right)C_{r-1}^{\text{i}}\left(n\right)\mathrm{,}}\end{array}$ épp így $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(r-1\right)C_{r-1}^{\text{i}}\left(n\right)=\left(n+r-2\right)C_{r-2}^{\text{i}}\left(n\right)\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{...}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 2C_2^{\text{i}}\left(n\right)=\left(n+1\right)C_1^{\text{i}}\left(n\right)\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle C_1^{\text{i}}\left(n\right)=C_1\left(n\right)=n\mathrm{.}}\end{array}$ Eme egyenleteket egymással megszorozva nyerjük, hogy: $\begin{array}{c}{\displaystyle C_r^{\text{i}}\left(n\right)=\frac{\left(n+r-1\right)\left(n+r-2\right)\text{...}\left(n+1\right)n}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{...}r}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{r}\right)=C_r\left(n+r-1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Vagyis az $n$ elemből, ismétléssel alkotott $r$-ed osztályú kombinácziók száma akkora, mint az $\left(n+r-l\right)$ elemből, ismétlés nélkül alkotott $r$-ed osztályú kombinációk száma. Ezek alapján könnyen kimutatható, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle C_r^{\text{i}}\left(n\right)=C_{r-1}^{\text{i}}\left(n\right)+C_r^{\text{i}}\left(n-1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ha ez utolsó képlet érvényességét minden esetben fenn akarjuk tartani, akkor a $\begin{array}{c}{\displaystyle C_1^{\text{i}}\left(n\right)=C_0^{\text{i}}\left(n\right)+C_1^{\text{i}}\left(n-1\right)}\end{array}$ egyenletből $\begin{array}{c}{\displaystyle C_0^{\text{i}}\left(n\right)=1}\end{array}$ Végül még ama permutácziók számát kell kiszámítanunk, melyekben az elemek ismétlődnek. Legyen az $n$ adott : $\begin{array}{c}{\displaystyle aa\text{...}abb\text{...}b\text{...}l\cdot l\text{...}l\mathrm{,}}\end{array}$ mely csoportban az $a\mathrm{,}b\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}l$ elemek rendre $\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}\lambda$-szor forduljanak elő, miért is $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha +\beta +\text{...}+\lambda =n\mathrm{.}}\end{array}$ Hogy a csoportok számát meghatározhassuk, adjunk az egyenlő elemeknek indexeket és tegyük fel, hogy az így felírt elemek mind különbözők: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1{a}_2\text{...}{a}_{\alpha }{b}_1{b}_2\text{...}{b}_{\beta }{c}_1{c}_2\text{...}{c}_{\gamma }\text{...}{l}_1{l}_2\text{...}{l}_{\gamma }\mathrm{.}}\end{array}$ Eme most különbözőnek vett $n$ elem permutáczióinak száma $P\left(n\right)$. A $P\left(\alpha \right)$ csoportokban egymás mellett megmaradnak az $a$-k, $P\left(\beta \right)$-ban a $b$-k és í. t' $P\left(\lambda \right)$-ban az $l$-ek. Ha tehát az $a-k\mathrm{,}b-k\mathrm{,}\text{...}l$-ek identikus elemek lesznek, akkor a különböző permutácziók száma $P\left(\alpha \right)$-szor, $P\left(\beta \right)$-szor, $\text{...}P\left(\lambda \right)$-szor kisebb lesz; vagyis: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_n=\left(a^{\alpha }\mathrm{,}{b}^{\beta }\mathrm{,}\text{...}{l}^{\lambda }\right)=\frac{P_{(}n)}{P\left(\alpha \right)\cdot P\left(\beta \right)\text{...}P\left(\lambda \right)}=\frac{n!}{\alpha !\beta !\text{...}\lambda !}\mathrm{.}}\end{array}$