Cím: A Guldin-féle szabály
Szerző(k):  Lázár Lajos 
Füzet: 1901/január, 137 - 139. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Guldin-féle szabály. Stereometriai feladatok megoldásánál gyakran hivatkozunk a Guldin-féle szabályra, miért is e szabályt s bizonyítását bemutatjuk. E végből kiszámítjuk ama forgási test köbtartalmát, mely az ABCD téglalapnak az XY tengely körül való forgásából keletkezik.

 

 

Ha AD=m,EA=r1,EB=r,FG=ρ, akkor, minthogy AD és BC hengerfelületet írnak le, a köbtartalom
V=(r2-r12)πm=(r+r1)(r-r1)πm=
=2r+r12πABm=2ρπt,
ha t a téglalap területe.
Látjuk tehát, hogy a forgási test köbtartalmát megkapjuk, ha a súlypont által leírt utat megszorozzuk a forgó idom területével.
Ha a forgó idom több téglalapból tehető össze, melyeknek területei t1,t2,t3,t4,..., a megfelelő súlypontok távolsága XY-tól pedig ρ1,ρ2,ρ3,ρ4,..., akkor
v=2ρ1πt1+2ρ2πt2+3ρ3πt3+...
vagy
v=2π(ρ1t1+ρ2t2+ρ3t3+...)

De minthogy a zárójelben levó nyomatékok öszszege ρt, hol t az egész idom területe, ρ pedig a súlypontjának távolsága XY-tól, azért ismét:
v=2ρπt.
A tétel minden síkidomra alkalmazható, mert minden síkidom tetszésszerinti pontossággal szétbontható csupa apró téglalapra.
E szabály a forgási testek fölületének meghatározására is szolgál.
 

 

Ha pl. AB egyenes forog XY tengely körül, akkor a keletkező kúpfölület területe:
F=(r+r1)πAB=2r+r12πAB=2ρπAB.
Látjuk tehát, hogy a súlypont útját meg kell szoroznunk a forgó egyenes hosszúságával.
A tétel könnyen bizonyítható akkor is, ha egy tetszésszerinti vonal forog. (L. Holzmüller: Elementar-Mathematik.)
E szabályt már Pappus is ismerte; behatóbban foglalkozott vele Guldin Habakuk Pál (1577-1643) De centro gravitatis czímű munkájában.
E szabályt alkalmazva, könnyen oldhatjuk meg a következő feladatot:
 
833. Adva van az általános trapéz két párhuzamos oldala a és b, továbbá a magassága m. Meghatározandó a trapéz súlypontjának a távolsága az egyik párhuzamos oldaltól.
Ebben az esetben
V=a+b2m2dπ,

ha d a súlypont távolsága b-től. De ha a trapéz b körül forog (b>a), akkor:
V=am2π+b-a3m2π-m2πb+2a3
s így
a+b2m2dπ=m2πb+2a3,
miből
d=m(b+2a)3(a+b)
 
(Lázár Lajos, Budapest.)
 
A feladatot még megoldották: Bayer B., Bogdán G., König D., Lukhaub Gy., Póka Gy., Scharff J., Sasvári J.
 

sin18,cos18. Megmutatjuk, hogy hogyan számíthatók ki a cos18 szög függvényei, a megfelelő szabályos sokszög oldalhosszának ismerete nélkül.
cos18=sin72=2sin36cos36
cos18=4sin18cos18cos36,
tehát
4sin18cos36=1.(1)

Minthogy pedig
cos2α=1-2sin2α,
azért
cos36=1-2sin218(2)
legyen most 2sin18=x,2cos36=y, akkor (1) és (2)-ből:
xy=1
y+x2=2,
mely egyenletekből
x3-2x+1=0
vagy
x(x2-1)-(x-1)=0
(x-1)[x(x+1)-1]=0,
miből
x2+x-1=0
s így
x=5-12,y=1x=5+12.
Tehát
sin18=5-14,cos36=5+14.
cos18=5+58,cos36=3-58.