Cím: Sorok összegezése
Szerző(k):  Szimányi S. 
Füzet: 1900/október, 43 - 45. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A számtani sorok összegének meghatározására a következő módszer is alkalmas.
4. Az elsőrendű számtani sor összege.

S=a1+(a1+d)+(a1+2d)+...+[a1+(n-1)d].
E sor összege ily alakban fejezhető ki:
S=An2+Bn+C.(1)
De C=0, mert ha n=0, akkor S=0. Meg kell tehát még határoznunk A-t és B-t.
Ha n=1, akkor
A+B=a1
ha n=2, akkor
4A+2B=2a1+d.
E két egyenletből:
A=d2,B=2a1-d2.
A,B és C értékeit (1)-be téve, ered:
S=n2(a1+an).
5. Minden másodrendű számtani sor összege:
S=An3+Bn2+Cn,(2)
Ilyen sor például:
S=1+5+12+22+35+51+...
Ha (2)-ben n helyébe 1-et, 2-t, 3-at teszünk, akkor ered:
A+B+C=1
8A+4B+2C=6
27A+9B+3C=18.
Eme egyenletekből
A=12,B=12,C=0
s így
S=n32+n22=n2(n+1)2.
E módszerrel a számok négyzeteinek összegét így számítjuk ki:
S=1+4+9+16+...+n2.
A megoldandó egyenletek ez esetben:
A+B+C=1
8A+4B+2C=5
27A+9B+3C=14.
Eme egyenletekből
A=13,B=12,C=16
s így
S=n33+n22+n6=n(n+1)(2n+1)6.
6. A természetes számok harmadik hatványai harmadrendű sort alkotnak.
S=1+8+27+64+...+n3.
Ez esetben
S=An4+Bn3+Cn2+Dn.
A megoldandó egyenletrendszer:
A+B+C+D=1
16A+8B+4C+2D=9
81A+27B+9C+3D=36
256A+64B+16C+4D=100.
Eme egyenletekből
A=14,B=12,C=14,D=0
s így
S=n44+n32+n24=n2(n+1)24.