Kezdőlap

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A számtani sorok összegének meghatározására a következő módszer is alkalmas.
4 $^{\circ}$ . Az elsőrendű számtani sor összege.

\begin{matrix} S = a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) + ... + [a_{1} + (n - 1) d] . \end{matrix}

E sor összege ily alakban fejezhető ki:

\begin{matrix} S = A n^{2} + B n + C . \end{matrix}

(1)

C = 0

, mert ha

n = 0

, akkor

S = 0

. Meg kell tehát még határoznunk

A

-t és

B

-t.
Ha

n = 1

, akkor

\begin{matrix} A + B = a_{1} \end{matrix}

n = 2

, akkor

\begin{matrix} 4 A + 2 B = 2 a_{1} + d . \end{matrix}

E két egyenletből:

\begin{matrix} A = \frac{d}{2}, B = \frac{2 a_{1} - d}{2} . \end{matrix}

A, B

és

C

értékeit (1)-be téve, ered:

\begin{matrix} S = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) . \end{matrix}

^{\circ}

. Minden másodrendű számtani sor összege:

\begin{matrix} S = A n^{3} + B n^{2} + C n, \end{matrix}

(2)

Ilyen sor például:

\begin{matrix} S = 1 + 5 + 12 + 22 + 35 + 51 + ... \end{matrix}

Ha (2)-ben

n

helyébe

1

-et,

2

-t,

3

-at teszünk, akkor ered:

\begin{matrix} A + B + C = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} 8 A + 4 B + 2 C = 6 \end{matrix}

\begin{matrix} 27 A + 9 B + 3 C = 18. \end{matrix}

Eme egyenletekből

\begin{matrix} A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}, C = 0 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} S = \frac{n^{3}}{2} + \frac{n^{2}}{2} = \frac{n^{2} (n + 1)}{2} . \end{matrix}

E módszerrel a számok négyzeteinek összegét így számítjuk ki:

\begin{matrix} S = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + n^{2} . \end{matrix}

A megoldandó egyenletek ez esetben:

\begin{matrix} A + B + C = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} 8 A + 4 B + 2 C = 5 \end{matrix}

\begin{matrix} 27 A + 9 B + 3 C = 14. \end{matrix}

Eme egyenletekből

\begin{matrix} A = \frac{1}{3}, B = \frac{1}{2}, C = \frac{1}{6} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} S = \frac{n^{3}}{3} + \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{6} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} . \end{matrix}

^{\circ}

. A természetes számok harmadik hatványai harmadrendű sort alkotnak.

\begin{matrix} S = 1 + 8 + 27 + 64 + ... + n^{3} . \end{matrix}

Ez esetben

\begin{matrix} S = A n^{4} + B n^{3} + C n^{2} + D n . \end{matrix}

A megoldandó egyenletrendszer:

\begin{matrix} A + B + C + D = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} 16 A + 8 B + 4 C + 2 D = 9 \end{matrix}

\begin{matrix} 81 A + 27 B + 9 C + 3 D = 36 \end{matrix}

\begin{matrix} 256 A + 64 B + 16 C + 4 D = 100. \end{matrix}

Eme egyenletekből

\begin{matrix} A = \frac{1}{4}, B = \frac{1}{2}, C = \frac{1}{4}, D = 0 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} S = \frac{n^{4}}{4} + \frac{n^{3}}{2} + \frac{n^{2}}{4} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} . \end{matrix}