Cím: Coordináta rendszerekről 3.: Coordináta rendszerek a síkban 2.
Szerző(k):  Dr. Horti Henrik 
Füzet: 1901/március, 180 - 187. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Coordinata rendszerek a síkban.

 
C)Sarkcoordináták.
 

Ha a síkban valamely O szilárd pontot választunk, és az O pontból úgynevezett OX félsugarat húzunk, akkor a sík R pontjának a helyzetét tudjuk, ha egyrészt az R pontnak O ponttól való ρ távolságát, másrészt pedig a szöget ismerjük, melyet az OR=ρ távolság az OX félsugárral alkot. (16. ábra.)
 

 
16. ábra
 

az OX félsugarat sarktengelynek, az O pontot sarknak; az OR=ρ távolságát radius vectornak és az α szöget sarkszögnek nevezzük. A radiusvector és a sarkszög alkotják a pont sarkcoordinátáit.
A radius vectort csak absolut értékében szoktuk számításha venni; a sarkszöget azonban, a sarktengelytől számítva az óramutató járásával ellenkező irányban positívnak, vele megegyező irányban pedig negatívnak vesszük.
(Az ábrában látható R pontnak sarkszöge +; az R1 ponté -).
Az R pont sarkcoordinátáiból könnyű szerrel megtalálhatjuk ugyanannak a pontnak a Cartesius-féle derékszögű coordinátáit és viszont. Ha ugyanis a sarkrendszert olvan derékszögű rendszerrel hozzuk kapcsolatba, melynek kezdőpontját az O sarkpontban választjuk és melynek abscissa tengelye a sarktengelyt födi, akkor az ROM-ből
RMOR=sinα  és  OMRM=cosα;
vagyis
y=ρsinα  és  x=ρcosα,ρ=±x2+y2.
Ezen kapcsolatok alapján szoktuk az egyenleteket transformálni.
 
D)Homogén coordináták.
 

Parallel coordinátákra vonatkozó egyenleteken gyakran láthatjuk, hogy ha egyes tagjaiban a bennök előforduló változóknak (ismeretleneknek) hatványkitevőit összeadjuk, az összeg nem minden egyes tagban egyenlő.
Sőt azokban az egyenletekben olyan tagokat (v. tagot) is lelünk, melyek a változókat éppenséggel nem tartalmazzák (más szóval, melyekben a változók az 0-adik hatványban fordulnak elő.)
Parallel coordinátákban tehát az egyenlet egyes tagjai rendszerint különböző méretűek. Az egyenletek heterogén jellegűek. (Ilyen pl. az x2+y2-2ax+a2-ρ2=0; benne az első és a második tag kétméretű, a harmadik egyméretű, a negyedik és az ötödik absolut tagok.)
Homogén coordinátákban az egyenletek más szerkezetűek. Az egyenletek homogének. Homogénnek azt az egyenletet nevezzük, melynek minden egyes tagjában a változók hatványkitevőinek összege egyenlő. Homogén egyenletnek nincsen absolut tagja. Homogén pl. ax12+2bx1x2+2cx1x3+dx22+2ex2x3+fx32=0 egyenlet. Benne minden egyes tag kétméretű.
A homogén coordinátáknak ez nagy előnyt biztosít, mert a homogén egyenletek általánosabb jellegű tételek levezetésére alkalmasabbak.
Az a körülmény, hogy bármely nem homogén egyenletet egyszerű transformatiók alapján homogénné lehet tenni, tájékoztatást nyújt egyrészt a parallel és a homogén coordináták közti összefüggésről, másrészt megjelöli az utat, melyen haladnunk kell, ha egyik rendszerről a másikra át akarunk térni. A tudósok kimutatták, hogy a két rendszer között lévő kapcsolat annyira szoros, hogy a parallel coordináták a homogéneknek tulajdonképpen csak specziális esetét képezik.
 
*
 

A homogén coordinátákban is megkülönböztetünk pont- és vonalcoordinátákat.
Homogén pontcoordináták és homogén vonalcoordináták között ugyanaz a különbség, de ugyanaz az összefüggés is van, mint a közönséges pont- és vonalcoordináták között.
A szoros kapcsolat az elemek dualitása.
A rendszerek tényleges bemutatása előtt most mindenek előtt pillantást kellene vetni az eszmék ama egyszerű de szép és érdekes menetére, mely a homogén coordináták fölépítésére vezetett. Mind a mellett mellőzhetem a jelen esetben a részletesebb bevezető magyarázatokat, mert Arany Dániel ugyan e helyen (a III. évf. 3. és 4. számában) "a hely meghatározásról a síkban" cz. a. közölt két czikkében a homogén coordináta rendszerek lényegét ismertette. Midőn tehát ama két czikkre való hivatkozással csak a rendszerek bemutatására szorítkozom, fölhívom a tárgy iránt érdeklődők figvelmét dr. W. Fiedler "Die darstellende Geometrie" czímű jeles munkájának III. kötetére."Die construirende und analytische Geometrie der Lage". E jeles mű a homogén (projectiv) coordináta rendszerek származtatásának egész menetéről minden tekintetben alapos útbaigazítást ad.
1. A pont homogén coordinítái. (Homogén pontcoordináták.)
Ha a síkban valamely A1A2A3 szilárd coordináta háromszöget választunk, akkor a sík összes pontjait a háromszög három oldalához viszonyíthatjuk. (17. ábra.)
 

 
17. ábra
 

A pont coordinátái alatt ugyanis a pontnak a háromszög oldalaitól mért merőleges távolságait értjük.
Az A2A3,A3A1 és A1A2 oldalak a rendszer tengelyei.
Jelöljük a T pontnak a tengelyektől való távolságait rendre x1-gyel, x2-vel és x3-mal; akkor x1x2 és x3 értékeket a pont trimetrikus (homogén) coordinátáinak nevezzük.
Ha a háromszög oldalait a csúcsokon túl meghosszabbítjuk, a három egyenes (tengely) az egész síkot hét részre osztja. Ha a T pont nem pontja a tengelyeknek, akkor bizonyára a hét síkrész egyikében fekszik. Erre való tekintettel nem elegendő, ha a három coordinátának csak absolut értékét ismerjük, hanem a pont teljes meghatározásának czéljából a coordinátákat előjellel látjuk el.
Nevezetesen:
ha a T pont és az A1 csúcs az A2A3 tengely ugyanazon oldalán van, akkor x1 positív,
ha a T pont és az A2 csúcs az A3A1 tengely ugyanazon oldalán van, akkor x2 positiv,
ha a T pont és az A3 csúcs az A1A2 tengely ugyanazon oldalán van, akkor x3 positiv.
Ellenkező esetben a coordináták negativ előjelűek.
(A 17. ábrában x2 és x3 positív, ellenben x1 negatív. Ha a T pont a coordináta háromszögön belül feküdnék, akkor mind a három coordinátája positív volna.)
Ha a háromszög oldalait g1-gyel, g2-vel, g3-mal; nemkülönben a háromszög kétszeres területét -val jelöljük, akkor a coordináták közti összefüggést a g1x1+g2x2+g3x3= egyenlet fejezi ki.
(Ennek az egyenletnek a helyességéről könnyű szerrel meggyőződhetünk. Lásd a 17. ábrát.)
Ha az A1A2A3 háromszög három csúcsának a coordináláit h1-gyel, h2-vel és h3-mal jelöljük, nemkülönben figyelembe vesszük, hogy g1h1=;g2h2=,g3h3= vagyis
g1=1h1;g2=1h2;g3=1h3,
ekkor a fönti egyenletet így írhatjuk :
x1h1+x2h2+x3h3=1.
Ezért bátran mondhatjuk, hogy az x1,x2 és x3 számokat csak akkor tekinthetjük a T pont homogén coordinatáinak, ha az
x1h1+x2h2+x3h3=1
lineáris egyenletnek eleget tesznek.
Az ábra szemléléséből közvetetlenül meggyőződhetünk, hogy a háromszög három csúcsának a coordinátái a következők
 

  Az  A1  csúcsé:x1=h1;x2=0;x3=0,  "  A2   "x1=0;x2=h2;x3=0,  "  A3   "x1=0;x2=0;x3=h3.  
 

A coordináták értékei szempontjából érdekesek a háromszög úgynevezett "főpontjai". Azok közül a háromszögbe írható (ρ sugarú) kör középpontjának coordinátái:
x1=ρ1;x2=ρ2;x3=ρ3.
A háromszög súlypontjának coordinátái :
x-1=h13;x2=h23;x3=h33.
Az x1h1+x2h2+x33=1 egyenletet érdekessé teszi az a körülmény, hogy vele az x1,x2,x3 coordinátákra vonatkozó nem homogén egyenleteket homogénné lehet tenni.
 

2. Az egyenes vonal homogén coordinítái. (Homogén vonalcoordináták.)
 
Ha a coordináta-háromszög három csúcsából a t egyenesre merőlegest ejtünk, továbbá a síkban tetszés szerint valamely C pontot választunk, belőle is a t egyenesre merőlegest ejtünk, és ha a csúcspontokból ejtett merőlegeseknek mértékszámait egyenkint a C pontból ejtett merőlegesnek mértékszámával elosztjuk, akkor a három hányadost az egyenes vonal három homogén coordinátájának tekinthetjük.
 

 
18. ábra
 

  Ha az  A1  ponttávolságátt-tőlr1-gyeljelöljük,  "  A2   """r2-vel"  "  A3   """r3-mal"  

akkor a t egyenes vonal trimetrikus homogén coordinátái:
r1r=u1;r2r=u2;r3r=u3.
Itt is tekintetbe veszszük az előjelet. Nevezetesen:
 
u1-etpositívnakvesszükhaA1ésCat  egyenesugyanazonoldalánfekszik,u2-t"""A2"C"""""u3-t"""A3"C"""""  

ellenkező esetben a coordináták negatív előjelűek.
(A 18. ábrában u1 és u3 positív; u2 negatív. Ha a t egyenes nem metszi a coordinata háromszöget és a C pontot a háromszögön belül választjuk, akkor mind a három coordinata positív.)
Jelöljük a C pont coordinátáit (távolságait a háromszög oldalaitól, tehát pontcoordináláit) ρ1-gyel, ρ2-vel, ρ3-mal, akkor a coordináta háromszög három oldalának coordinátái:
 

A2A3oldaléu1=h1ρ1;u2=0;u3=0;mert{r1=h1r=ρ1}A3A1"u1=0;u2=h2ρ2;u3=0;mert{  r2=h2r=ρ2
}
A1A2"u1=0;u2=0;u3=h3ρ3;mert{  r3=h3r=ρ3
}

 
*
 

A különböző helyzetű és irányú egyeneseknek a coordinátái rendszerint különböző értékűek.
Azonban, ha két vagy több egyenesnek egy közös coordinátája van, ez annak a jele, hogy az egyeneseknek közös pontjuk van. Ha pl. a t1,t2,t3,... egyenesek coordinátái közül u1 közös értékű, akkor a T pont rajta van az A1 és C pontokat összekötő egyenesen és az A1C távolságot az A1TCT=±u1 viszonyban osztja.
Ha a T pont az A1C távolságon belül fekszik, akkor a coordináta - előjelű (19. ábra).
 

 
19. ábra
 

Ha az A1C távolságon kívül esik, + előjelű (20. ábra).
 

 
20. ábra
 

Az első esetben az A1-ből és a C-ből az egyenesekre ejtett merőlegeseknek talppontjai olyan körökön feküsznek, melyek T-ben kívülről érintkeznek. A második esetben a körök ‐ a talppontok geometriai helyei ‐ belülről érintkeznek.)
Ha a t1,t2,t3,... egyeneseknek coordinátái közül u2 közös, akkor T metszőpontjuk az A2C egyenesen van. A közös coordináta viszonyszáma A2TCT=±u2.
Ha végre u3 közös, akkor a T rajta van az A3C egyenesen. A viszonyszám A3TCT=±u3.
Az esetek bármelyikében a t1,t2,t3,... egyenesek a T pontot beburkolják. (Enveloppjai a közös metsző pontjuknak.)
Megjegyezhetjük még, hogy mindazoknak az egyeneseknek, melyek a szilárd C ponton áthaladnak, coordinatái:
u1=±,u2=±,u3=±.
 

*
 

Ha a homogén vonalcoordináta-rendszerben is a háromszög kétszeres területét -val jelöljük, akkor valamely egyenes vonal három homogén coordinátáját a következő egyenlettel kapcsolhatjuk össze:
g1ρ1u1+g2ρ2u2+g3ρ3u3=.

Tekintettel arra, hogy g1h1=,g2h2=, stb. vagyis g1=1h1, stb. az egyenletet így is írhatjuk:
ρ1h1u1+ρ2h2u2+ρ3h3u3=1
és mondhatjuk, hogy az u1,u2,u3 számok csak abban az esetben homogén coordinátái valamely t egyenesnek, ha ennek a lineáris egyenletnek eleget tesznek.
Különös jelentőséget nyer ez az egyenlet azzal, hogy vele az u1,u2,u3 vonalcoordinátákra vonatkoztatott bárminő fokú nem homogén egyenleteket homogénekké lehet átalakítani.
 
*
 

A homogén pont- és vonalcoordinaták kölcsönös összefüggéséről nyújtson némi fogalmat a következők párhuzamba állítása. Azt a föltételt, hogy valamely T pont, valamely t egyenesen van, vagy megfordítva valamely t egyenes valamely T ponton áthalad, a következő egyenlet fejezi ki:
1h1u1x1+1h2u2x2+1h3u3x3=0.
Ennek az egyenletnek kettős jelentősége van. Jelentősége van úgy pontcoordinátákban, mint vonalcoordinátákban.
Ugyanis:
 


Ha benne a  t  egyenes coordinátáit ismerjük,
Ha benne a  T  pont coordinátáit ismerjük,
  akkor az egyenletet így írhatjuk:akkor az egyenletet így írhatjuk:(u1h1)x1+(u2h2)x2+(u3h3)x3=0,  (x1h1)u1+(x2h2)u2+(x3h3)u3=0,  vagy rövidebben:  vagyis rövidebben:a1x1+a2x2+a3x3=0.a1u1+a2u2+a3u3=0.  Ez a homogén vonalas egyenlet homogén    Ez a homogén vonalas egyenlet homogén  pontcoordinátákban az egyenes vonalnak az egyenlete.  vonalcoordinátákban az egyenes pontnak az egyenlete.**  Homogén pontcoordinátákban a másodrendű    Homogén vonalcoordinátákban a másodosztályú    görbéknek az egyenlete:    görbéknek az egyenlete:a11x12+2a12x1x2+2a13x1x2+a22x22+a11u12+2a12u1u2+2a13u1u3+a22u22++2a23x2x3+a33x32=0.+2a22u2u3+a33u32=0.