Cím: Az algebrai függvényekről és az elemi úton megfejthető maximum-minimum feladatokról 8.
Szerző(k):  Dr. Bozóky Endre 
Füzet: 1901/június, 233 - 236. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

40. Grillet módszere. Mikor a változókat korlátozó feltételek nem engedték meg a változók egyenlőkké válását, módját adtuk annak, miképpen lehet a nehézséget megkerülni. A tételt több positív változó esetére általánosítván, fölemlítettük, hogy a változókat korlátozó föltételek némely esetben nem engedvén meg azt, hogy a változók egyenlőkké válhassanak, a módszer általános érvényességének is korlátokat szabnak. Ilyen esetekben Grillet (Nouvelles Annales de Mathematiques I. série 1. IX. et XVI.) útmutatása szerint kerülhetjük meg a nehézséget. A módszert egy érdekes feladat mégoldására fogjuk felhasználni.
41. Téglalapalakú kartonlapból a legnagyobb térfogatú, felül nyitott skatulya készítendő.

 

A téglalap sarkaiból x oldalú négyzeteket vágunk ki.
 
 

A skatulya köbtartalma
V=x(a-2x)(b-2x).
Ebben az esetben a tényezők nem válhatnak egyenlőkké; mert például
a-2x=b-2x
arra vezetne, hogy a=b, a mi a föltevéssel ellenkezik. A paraméteres eljárás sem vezetne czélhoz, amennyiben a megoldandó egyenlet 3-adfokú lenne. Grillet szerint a szorzat két utolsó tényezőjét tetszésünktől függő constans együtthatókkal megszorozzuk:
x(aα-2αx)(bβ-2βx).
A tényezők összege
x+aα-2αx+bβ-2βx
=x(1-2α-2β)+aα+bβ,
akkor lesz állandó értékű, vagyis x-től független, ha
1-2α-2β=0.
De ebben az esetben a szorzat akkor válik maximálissá, ha a tényezők egyenlők; tehát
x=α(a-2x)=β(b-2x).
Minthogy αβ, ebből most már nem következik az, hogy a=b. Ezekből az egyenletekből
α=xa-2x
β=xb-2x
következik, melyeket helyettesítvén
1-2xa-2x-2xb-2x=0
származnak, vagy rendezve:
12x2-4x(a+b)+ab=0,
honnét
x=a+b±a2-ab+b26.

Minthogy két positív értéket kaptunk, most még el kell döntenünk azt, hogy ezek közül melyik felel meg a feladat követelményeinek. Rajzunk szerint a>b.
Ennélfogva
a2-ab+b2
absolut értéke b-nél nagyobb, s így a nagyobbik gyök b2-nél nagyobb értékű. Ez azonban lehetetlen, mert az elvágandó négyzet oldalhosszúsága a téglalap kisebbik oldalának felénél hosszabb nem lehet.
Így tehát
x=a+b-a2-ab+b26.
42. A maximum-minimum feladatok reciprocitása. Legyenek X és Y positív változó mennyiségek, melyek közt meghatározott öszzefüggés álljon fenn. Ha Y-nak bizonyos adott B értékére nézve X-nek A a maximuma, akkor ugyanazon körülmények között X-nek A értékére nézve Y-nak B lesz a minimuma. Hogy ez lehetséges legyen, ahhoz csupán az szükséges, hogy X-nek lehetséges maximuma Y-nal egyidejűleg csökkenhessen.
Ugyanis, ha Y-nak egy a B-nél kisebb b értéket adunk, akkor X-nek értéke a föltevés szerint A-nál kisebb lesz. Tehát ha X-nek ez A értéket adjuk, akkor Y-nak egyidejűleg bekövetkezhető összes értékei közül egy sem lehet B-nél kisebb, s így B lesz az Y-nak minimuma.
Ez a megjegyzés megengedi azt, bogy bizonyos esetekben a maximum-minimum feladatok kétféleképpen tárgyaltathassanak. Minden maximum-, vagy minimum feladatnak így illetőlegesen egy minimum- vagy maximum feladat felel meg. Ennek alapján néhány nevezetes eredményt fogunk felsorolni.
Láttuk, hogy ha n positív tényezőnek összege állandó, szorzatuk maximumát éri, ha a tényezők egymás közt egyenlők, tehát egy-egy az összegüknek n-ed részévé válik.
Közvetlenül világos, hogy ha n positív tényezőnek szorzata állandó, akkor összegük minimumát éri, a mikor a tényezők egymás közt egyenlőkké válnak, s mindegyik a szorzatuknak n-ik gyökével lesz egyenlővé.
Továbbá láttuk, hogy ha n positív változó összege állandó, akkor az
xpyqzrtv
szorzat maximumát az esetben éri, a mikor a tényezők rendre arányosak megfelelő kitevőikkel.
A megelőzők alapján közvetlenül világos, hogy ha az
xpyqzrtv
szorzat állandó, akkor az x,y,z...t positív változók összege minimumát éri az esetben, a mikor a tényezők megfelelő kitevőikkel arányosak.
Láttuk, hogy az adott forgás kúpba írt henger térfogata akkor maximális, a mikor a henger magassága a kúp magasságának harmadrésze, vagy a henger alapkörének küllője 23-a a kúp alapköre küllőjének. E mellett a maximális henger köbtartalma az adott kúp köbtartalmával egyidejűleg csökkenik.
Megjegyzéseink alapján kimondhatjuk, hogy az adott körhenger körül írt forgáskúp köbtartalma akkor minimális, amikor a kúp magassága a henger magasságának 3-szorosa.
43. Mielőtt a tollat letenném, kötelességem forrásaimról (a mennyiben azt a tárgyalások folyamán meg nem tettem volna) beszámolni. E tekintetben első sorban említem Charles de Comberousse: Cours de mathematiques I. kötetét, továbbá F. J.-nek Cours. d'algebre élémentaire conforme aux derniers programmes czímű munkáját.
Abban a hitben, hogy minden a kérdésre vonatkozót áttekinthetőleg összefoglaltam, s hogy ezzel a mennyiségtan iránt érdeklődő fiatalságunknak szolgálatot tettem, a hűségesen eddig kitartott szíves olvasó figyelméért köszönetet mondva, zárom soraimat.