Kezdőlap


Cím:	Az algebrai függvényekről és az elemi úton megfejthető maximum-minimum feladatokról 8.
Szerző(k):	Dr. Bozóky Endre
Füzet:	1901/június, 233 - 236. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

40. Grillet módszere. Mikor a változókat korlátozó feltételek nem engedték meg a változók egyenlőkké válását, módját adtuk annak, miképpen lehet a nehézséget megkerülni. A tételt több positív változó esetére általánosítván, fölemlítettük, hogy a változókat korlátozó föltételek némely esetben nem engedvén meg azt, hogy a változók egyenlőkké válhassanak, a módszer általános érvényességének is korlátokat szabnak. Ilyen esetekben Grillet (Nouvelles Annales de Mathematiques I. série 1. IX. et XVI.) útmutatása szerint kerülhetjük meg a nehézséget. A módszert egy érdekes feladat mégoldására fogjuk felhasználni.
41. Téglalapalakú kartonlapból a legnagyobb térfogatú, felül nyitott skatulya készítendő.

A téglalap sarkaiból

x

oldalú négyzeteket vágunk ki.

A skatulya köbtartalma

\begin{matrix} V = x \cdot (a - 2 x) \cdot (b - 2 x) . \end{matrix}

Ebben az esetben a tényezők nem válhatnak egyenlőkké; mert például

\begin{matrix} a - 2 x = b - 2 x \end{matrix}

arra vezetne, hogy

a = b

, a mi a föltevéssel ellenkezik. A paraméteres eljárás sem vezetne czélhoz, amennyiben a megoldandó egyenlet

3

-adfokú lenne. Grillet szerint a szorzat két utolsó tényezőjét tetszésünktől függő constans együtthatókkal megszorozzuk:

\begin{matrix} x (a α - 2 α x) \cdot (b β - 2 β x) . \end{matrix}

A tényezők összege

\begin{matrix} x + a α - 2 α x + b β - 2 β x \end{matrix}

\begin{matrix} = x (1 - 2 α - 2 β) + a α + b β, \end{matrix}

akkor lesz állandó értékű, vagyis

x

-től független, ha

\begin{matrix} 1 - 2 α - 2 β = 0. \end{matrix}

De ebben az esetben a szorzat akkor válik maximálissá, ha a tényezők egyenlők; tehát

\begin{matrix} x = α (a - 2 x) = β (b - 2 x) . \end{matrix}

Minthogy

α \neq β

, ebből most már nem következik az, hogy

a = b

. Ezekből az egyenletekből

\begin{matrix} α = \frac{x}{a - 2 x} \end{matrix}

\begin{matrix} β = \frac{x}{b - 2 x} \end{matrix}

következik, melyeket helyettesítvén

\begin{matrix} 1 - \frac{2 x}{a - 2 x} - \frac{2 x}{b - 2 x} = 0 \end{matrix}

származnak, vagy rendezve:

\begin{matrix} 12 x^{2} - 4 x (a + b) + a b = 0, \end{matrix}

honnét

\begin{matrix} x = \frac{a + b \pm \sqrt[]{a^{2} - a b + b^{2}}}{6} . \end{matrix}

Minthogy két positív értéket kaptunk, most még el kell döntenünk azt, hogy ezek közül melyik felel meg a feladat követelményeinek. Rajzunk szerint

a > b

.
Ennélfogva

\begin{matrix} \sqrt[]{a^{2} - a b + b^{2}} \end{matrix}

absolut értéke

b

-nél nagyobb, s így a nagyobbik gyök

\frac{b}{2}

-nél nagyobb értékű. Ez azonban lehetetlen, mert az elvágandó négyzet oldalhosszúsága a téglalap kisebbik oldalának felénél hosszabb nem lehet.
Így tehát

\begin{matrix} x = \frac{a + b - \sqrt[]{a^{2} - a b + b^{2}}}{6} . \end{matrix}

42. A maximum-minimum feladatok reciprocitása. Legyenek

X

és

Y

positív változó mennyiségek, melyek közt meghatározott öszzefüggés álljon fenn. Ha

Y

-nak bizonyos adott

B

értékére nézve

X

-nek

A

a maximuma, akkor ugyanazon körülmények között

X

-nek

A

értékére nézve

Y

-nak

B

lesz a minimuma. Hogy ez lehetséges legyen, ahhoz csupán az szükséges, hogy

X

-nek lehetséges maximuma

Y

-nal egyidejűleg csökkenhessen.
Ugyanis, ha

Y

-nak egy a

B

-nél kisebb

b

értéket adunk, akkor

X

-nek értéke a föltevés szerint

A

-nál kisebb lesz. Tehát ha

X

-nek ez

A

értéket adjuk, akkor

Y

-nak egyidejűleg bekövetkezhető összes értékei közül egy sem lehet

B

-nél kisebb, s így

B

lesz az

Y

-nak minimuma.
Ez a megjegyzés megengedi azt, bogy bizonyos esetekben a maximum-minimum feladatok kétféleképpen tárgyaltathassanak. Minden maximum-, vagy minimum feladatnak így illetőlegesen egy minimum- vagy maximum feladat felel meg. Ennek alapján néhány nevezetes eredményt fogunk felsorolni.
Láttuk, hogy ha

n

positív tényezőnek összege állandó, szorzatuk maximumát éri, ha a tényezők egymás közt egyenlők, tehát egy-egy az összegüknek

n

-ed részévé válik.
Közvetlenül világos, hogy ha

n

positív tényezőnek szorzata állandó, akkor összegük minimumát éri, a mikor a tényezők egymás közt egyenlőkké válnak, s mindegyik a szorzatuknak

n

-ik gyökével lesz egyenlővé.
Továbbá láttuk, hogy ha

n

positív változó összege állandó, akkor az

\begin{matrix} x^{p} \cdot y^{q} \cdot z^{r} \dots t^{v} \end{matrix}

szorzat maximumát az esetben éri, a mikor a tényezők rendre arányosak megfelelő kitevőikkel.
A megelőzők alapján közvetlenül világos, hogy ha az

\begin{matrix} x^{p} \cdot y^{q} \cdot z^{r} \dots t^{v} \end{matrix}

szorzat állandó, akkor az

x, y, z ... t

positív változók összege minimumát éri az esetben, a mikor a tényezők megfelelő kitevőikkel arányosak.
Láttuk, hogy az adott forgás kúpba írt henger térfogata akkor maximális, a mikor a henger magassága a kúp magasságának harmadrésze, vagy a henger alapkörének küllője

\frac{2}{3}

-a a kúp alapköre küllőjének. E mellett a maximális henger köbtartalma az adott kúp köbtartalmával egyidejűleg csökkenik.
Megjegyzéseink alapján kimondhatjuk, hogy az adott körhenger körül írt forgáskúp köbtartalma akkor minimális, amikor a kúp magassága a henger magasságának

3

-szorosa.
43. Mielőtt a tollat letenném, kötelességem forrásaimról (a mennyiben azt a tárgyalások folyamán meg nem tettem volna) beszámolni. E tekintetben első sorban említem Charles de Comberousse: Cours de mathematiques I. kötetét, továbbá F. J.-nek Cours. d'algebre élémentaire conforme aux derniers programmes czímű munkáját.
Abban a hitben, hogy minden a kérdésre vonatkozót áttekinthetőleg összefoglaltam, s hogy ezzel a mennyiségtan iránt érdeklődő fiatalságunknak szolgálatot tettem, a hűségesen eddig kitartott szíves olvasó figyelméért köszönetet mondva, zárom soraimat.