A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 40. Grillet módszere. Mikor a változókat korlátozó feltételek nem engedték meg a változók egyenlőkké válását, módját adtuk annak, miképpen lehet a nehézséget megkerülni. A tételt több positív változó esetére általánosítván, fölemlítettük, hogy a változókat korlátozó föltételek némely esetben nem engedvén meg azt, hogy a változók egyenlőkké válhassanak, a módszer általános érvényességének is korlátokat szabnak. Ilyen esetekben Grillet (Nouvelles Annales de Mathematiques I. série 1. IX. et XVI.) útmutatása szerint kerülhetjük meg a nehézséget. A módszert egy érdekes feladat mégoldására fogjuk felhasználni. 41. Téglalapalakú kartonlapból a legnagyobb térfogatú, felül nyitott skatulya készítendő. A téglalap sarkaiból oldalú négyzeteket vágunk ki.
A skatulya köbtartalma Ebben az esetben a tényezők nem válhatnak egyenlőkké; mert például arra vezetne, hogy , a mi a föltevéssel ellenkezik. A paraméteres eljárás sem vezetne czélhoz, amennyiben a megoldandó egyenlet -adfokú lenne. Grillet szerint a szorzat két utolsó tényezőjét tetszésünktől függő constans együtthatókkal megszorozzuk: A tényezők összege akkor lesz állandó értékű, vagyis -től független, ha De ebben az esetben a szorzat akkor válik maximálissá, ha a tényezők egyenlők; tehát Minthogy , ebből most már nem következik az, hogy . Ezekből az egyenletekből következik, melyeket helyettesítvén származnak, vagy rendezve: honnét Minthogy két positív értéket kaptunk, most még el kell döntenünk azt, hogy ezek közül melyik felel meg a feladat követelményeinek. Rajzunk szerint . Ennélfogva absolut értéke -nél nagyobb, s így a nagyobbik gyök -nél nagyobb értékű. Ez azonban lehetetlen, mert az elvágandó négyzet oldalhosszúsága a téglalap kisebbik oldalának felénél hosszabb nem lehet. Így tehát 42. A maximum-minimum feladatok reciprocitása. Legyenek és positív változó mennyiségek, melyek közt meghatározott öszzefüggés álljon fenn. Ha -nak bizonyos adott értékére nézve -nek a maximuma, akkor ugyanazon körülmények között -nek értékére nézve -nak lesz a minimuma. Hogy ez lehetséges legyen, ahhoz csupán az szükséges, hogy -nek lehetséges maximuma -nal egyidejűleg csökkenhessen. Ugyanis, ha -nak egy a -nél kisebb értéket adunk, akkor -nek értéke a föltevés szerint -nál kisebb lesz. Tehát ha -nek ez értéket adjuk, akkor -nak egyidejűleg bekövetkezhető összes értékei közül egy sem lehet -nél kisebb, s így lesz az -nak minimuma. Ez a megjegyzés megengedi azt, bogy bizonyos esetekben a maximum-minimum feladatok kétféleképpen tárgyaltathassanak. Minden maximum-, vagy minimum feladatnak így illetőlegesen egy minimum- vagy maximum feladat felel meg. Ennek alapján néhány nevezetes eredményt fogunk felsorolni. Láttuk, hogy ha positív tényezőnek összege állandó, szorzatuk maximumát éri, ha a tényezők egymás közt egyenlők, tehát egy-egy az összegüknek -ed részévé válik. Közvetlenül világos, hogy ha positív tényezőnek szorzata állandó, akkor összegük minimumát éri, a mikor a tényezők egymás közt egyenlőkké válnak, s mindegyik a szorzatuknak -ik gyökével lesz egyenlővé. Továbbá láttuk, hogy ha positív változó összege állandó, akkor az szorzat maximumát az esetben éri, a mikor a tényezők rendre arányosak megfelelő kitevőikkel. A megelőzők alapján közvetlenül világos, hogy ha az szorzat állandó, akkor az positív változók összege minimumát éri az esetben, a mikor a tényezők megfelelő kitevőikkel arányosak. Láttuk, hogy az adott forgás kúpba írt henger térfogata akkor maximális, a mikor a henger magassága a kúp magasságának harmadrésze, vagy a henger alapkörének küllője -a a kúp alapköre küllőjének. E mellett a maximális henger köbtartalma az adott kúp köbtartalmával egyidejűleg csökkenik. Megjegyzéseink alapján kimondhatjuk, hogy az adott körhenger körül írt forgáskúp köbtartalma akkor minimális, amikor a kúp magassága a henger magasságának -szorosa. 43. Mielőtt a tollat letenném, kötelességem forrásaimról (a mennyiben azt a tárgyalások folyamán meg nem tettem volna) beszámolni. E tekintetben első sorban említem Charles de Comberousse: Cours de mathematiques I. kötetét, továbbá F. J.-nek Cours. d'algebre élémentaire conforme aux derniers programmes czímű munkáját. Abban a hitben, hogy minden a kérdésre vonatkozót áttekinthetőleg összefoglaltam, s hogy ezzel a mennyiségtan iránt érdeklődő fiatalságunknak szolgálatot tettem, a hűségesen eddig kitartott szíves olvasó figyelméért köszönetet mondva, zárom soraimat. |