Cím: Az algebrai függvényekről és az elemi úton megfejthető maximum-minimum feladatokról 7.
Szerző(k):  Dr. Bozóky Endre 
Füzet: 1901/április, 201 - 205. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

33. A tétel általánosítása a változók hatványainak szorzatára. Ha két positív változó összege állandó, akkor a változók bizonyos hatványainak szorzata maximálissá válik, a mikor a tényezők a megfelelő kitevőikkel arányosak.

 
Legyen x+y=a és vizsgáljuk az xmyn szorzatot. Identikusan áll:
xmyn=xmmmynnnmmnn.
A jobboldalon a két utolsó tényező állandó mennyiség, s így a vizsgált szorzat maximuma az
xmmmynnn
szorzat maximumával egyidejűleg fog bekövetkezni. Ezt a szorzatot így is írhatjuk:
(xm)m(yn)n.
Utóbbi szorzatunk kétféle tényezőből áll: szám szerint m tényező mindegyike xm, szám szerint n tényező mindegyike xn, s a tényezők összege
mxm+nyn=x+y=a
állandó mennyiség. A 24. pontban mondottak szerint a szorzat akkor válik maximálissá, ha a tényezők egyenlőek, föltéve, hogy egyenlőekké válhatnak; s ekkor
xm=yn,
honnét
x:y=m:n.
 
34. A tétel érvényes törtkitevők esetében. Legyen
m=pq,n=rs,
akkor
xmyn=xpqyrs=xpqyrs
=xpsqsyrqqs
=xpsyrqqs.
A gyökmennyiség maximumát ugyanazon esetben éri, a mikor a gyökjel alatt álló szorzat; ennél pedig a maximum beálltának föltétele
xps=yrq
vagy
qxp=syr
s ismét
x:y=pq:rs.
 
35. A változók hatványaira vonatkozó tétel megfordítása. Ha több positív változó hatványainak szorzata állandó mennyiség, akkor a változók összege minimálissá válik, a mikor a változók hatványkitevőikkel arányosak.
Egyelőre két változó esetére szorítkozván, legyen
xmyn=const.
Ugyanígy
xmynmmnn=const.
vagyis
(xm)(xm)...(yn)(yn)...=const.

Az itt szereplő m+n számú tényezö összege
xm+xm+...+yn+yn+...=x+y.
De a megelőző egyenlsőg szerint az m+n számú változónak szorzata állandó mennyiség, s így az x+y összeg akkor válik minimálissá, ha a változók ‐ föltéve, hogy ez lehetséges ‐ egyenlők, vagyis, ha
xm=yn.
Az általános esetre való kiterjesztés egészen így történik.
 
36. Föltéve, hogy axm+byn=const., vizsgáljuk meg, mikor válik az xmyn szorzat maximálissá?
 
Az xmyn szorzat az
abxmyn
szorzattal egyidejűleg válik maximálissá, mi mellett ab positívnak vétetik
abxmyn=axmbyn.
A két tényező összege állandó lévén, a szorzat maximumának
axm=byn
a föltétele.
 
37. Föltéve, hogy x+y+z=const., vizsgáljuk meg, mikor válik az
(ax+α)(by+β)(cz+γ)
szorzat maximálissá?

 
A vizsgált szorzat ugyanakkor vális maximálissá, a mikor ez a körülmény az
(ax+α)(by+β)(cz+γ)abc
kifejezésre nézve áll be, ha abc positív. Ezt a kifejezést így is írhatjuk:
(x+αa)(y+βb)(z+γc).
Minthogy pedig a három tényező összege állandó, a maximum beálltának
x+αa=y+βb=z+γc
a föltételei, melyek az
x+y+z=const.
föltétellel kapcsolatban az x,y,z meghatározására szükséges 3 egyenletet szolgáltatják.
 
38. Ha x+y=const., vizsgáljuk meg az x2+y2 és x3+y3 kifejezések eminens értékeit.
Legyen
x+y=a
(a)
x2+y2=(x+y)2-2xy
=a2-2xy.
Tudjuk, hogy xy-nak maximuma x=y esetében áll elő; tehát ugyanez esetben (x2+y2)-nek minimuma fog bekövetkezni.
(b)
x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)
=a3-3axy,
tehát itt is x=y esetében következik be x3+y3 maximuma.
Az utóbbi vizsgálat egy érdekes geometriai feladatnak megoldását foglalja magában. Adott a hosszúságú egyenes oly két részre osztandó, hogy a részek mint átmérők fölött álló gömbök térfogatainak összege eminens értékű legyen.
Ha x és y a gömbök átmérői, akkor
x+y=a
esetében
πx36+πy36
minimuma
x=y=a2
föltétel mellett, maximuma pedig akkor áll be, ha akár x, akár y zérussá válik.
 
39. Az állandó felszínű egyenes körhengerek közül melyiknek köbtartalma maximális?
Az állandó felszínt 2πa2-nek véve, legyen x az alapkör küllője, y a henger magassága; akkor
2πx2+πxy=2πa2
y=a2-x2x.
A térfogat
v=πx2y
=πx2(a2-x2)x
=πx(a2-x2).
A térfogat az
x(a2-x2)
szorzattal egyidejűleg válik maximálissá. Ez pedig négyzetével, vagyis
x2(a2-x2)2-tel
egyidejűleg válik maximálissá. Ezt így is írhatjuk:
(x2)1(a2-x2)2.
Minthogy a tényezők összege állandó, maximum esetében a tényezők arányosak kitevőikkel, s így
x21=a2-x22,
honnét
x=a33
s így
y=2a33
a maximális térfogat pedig
2πa339.
Az egyenlő felszínű körhengerek közül az egyenlőoldalú körhengernek térfogata maximális.