Kezdőlap


Cím:	Az algebrai függvényekről és az elemi úton megfejthető maximum-minimum feladatokról 7.
Szerző(k):	Dr. Bozóky Endre
Füzet:	1901/április, 201 - 205. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

33. A tétel általánosítása a változók hatványainak szorzatára. Ha két positív változó összege állandó, akkor a változók bizonyos hatványainak szorzata maximálissá válik, a mikor a tényezők a megfelelő kitevőikkel arányosak.

Legyen

x + y = a

és vizsgáljuk az

x^{m} \cdot y^{n}

szorzatot. Identikusan áll:

\begin{matrix} x^{m} \cdot y^{n} = \frac{x^{m}}{m^{m}} \cdot \frac{y^{n}}{n^{n}} \cdot m^{m} \cdot n^{n} . \end{matrix}

A jobboldalon a két utolsó tényező állandó mennyiség, s így a vizsgált szorzat maximuma az

\begin{matrix} \frac{x^{m}}{m^{m}} \cdot \frac{y^{n}}{n^{n}} \end{matrix}

szorzat maximumával egyidejűleg fog bekövetkezni. Ezt a szorzatot így is írhatjuk:

\begin{matrix} {(\frac{x}{m})}^{m} \cdot {(\frac{y}{n})}^{n} . \end{matrix}

Utóbbi szorzatunk kétféle tényezőből áll: szám szerint

m

tényező mindegyike

\frac{x}{m}

, szám szerint

n

tényező mindegyike

\frac{x}{n}

, s a tényezők összege

\begin{matrix} m \cdot \frac{x}{m} + n \cdot \frac{y}{n} = x + y = a \end{matrix}

állandó mennyiség. A 24. pontban mondottak szerint a szorzat akkor válik maximálissá, ha a tényezők egyenlőek, föltéve, hogy egyenlőekké válhatnak; s ekkor

\begin{matrix} \frac{x}{m} = \frac{y}{n}, \end{matrix}

honnét

\begin{matrix} x : y = m : n . \end{matrix}

34. A tétel érvényes törtkitevők esetében. Legyen

\begin{matrix} m = \frac{p}{q}, n = \frac{r}{s}, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} x^{m} \cdot y^{n} = x^{\frac{p}{q}} \cdot y^{\frac{r}{s}} = \sqrt[q]{x^{p}} \cdot \sqrt[s]{y^{r}} \end{matrix}

\begin{matrix} = \sqrt[q s]{x^{p s}} \cdot \sqrt[q s]{y^{r q}} \end{matrix}

\begin{matrix} = \sqrt[q s]{x^{p s} \cdot y^{r q}} . \end{matrix}

A gyökmennyiség maximumát ugyanazon esetben éri, a mikor a gyökjel alatt álló szorzat; ennél pedig a maximum beálltának föltétele

\begin{matrix} \frac{x}{p s} = \frac{y}{r q} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{q x}{p} = \frac{s y}{r} \end{matrix}

s ismét

\begin{matrix} x : y = \frac{p}{q} : \frac{r}{s} . \end{matrix}

35. A változók hatványaira vonatkozó tétel megfordítása. Ha több positív változó hatványainak szorzata állandó mennyiség, akkor a változók összege minimálissá válik, a mikor a változók hatványkitevőikkel arányosak.
Egyelőre két változó esetére szorítkozván, legyen

\begin{matrix} x^{m} \cdot y^{n} = const. \end{matrix}

Ugyanígy

\begin{matrix} \frac{x^{m} \cdot y^{n}}{m^{m} \cdot n^{n}} = const. \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (\frac{x}{m}) (\frac{x}{m}) ... (\frac{y}{n}) (\frac{y}{n}) ... = const. \end{matrix}

Az itt szereplő

m + n

számú tényezö összege

\begin{matrix} \frac{x}{m} + \frac{x}{m} + ... + \frac{y}{n} + \frac{y}{n} + ... = x + y . \end{matrix}

De a megelőző egyenlsőg szerint az

m + n

számú változónak szorzata állandó mennyiség, s így az

x + y

összeg akkor válik minimálissá, ha a változók ‐ föltéve, hogy ez lehetséges ‐ egyenlők, vagyis, ha

\begin{matrix} \frac{x}{m} = \frac{y}{n} . \end{matrix}

Az általános esetre való kiterjesztés egészen így történik.

36. Föltéve, hogy

a x^{m} + b y^{n} = const.,

vizsgáljuk meg, mikor válik az

x^{m} \cdot y^{n}

szorzat maximálissá?

x^{m} \cdot y^{n}

szorzat az

\begin{matrix} a b x^{m} \cdot y^{n} \end{matrix}

szorzattal egyidejűleg válik maximálissá, mi mellett

a b

positívnak vétetik

\begin{matrix} a b x^{m} y^{n} = a x^{m} \cdot b y^{n} . \end{matrix}

A két tényező összege állandó lévén, a szorzat maximumának

\begin{matrix} a x^{m} = b y^{n} \end{matrix}

a föltétele.

37. Föltéve, hogy

x + y + z = const.,

vizsgáljuk meg, mikor válik az

\begin{matrix} (a x + α) (b y + β) (c z + γ) \end{matrix}

szorzat maximálissá?

A vizsgált szorzat ugyanakkor vális maximálissá, a mikor ez a körülmény az

\begin{matrix} \frac{(a x + α) (b y + β) (c z + γ)}{a b c} \end{matrix}

kifejezésre nézve áll be, ha

a b c

positív. Ezt a kifejezést így is írhatjuk:

\begin{matrix} (x + \frac{α}{a}) (y + \frac{β}{b}) (z + \frac{γ}{c}) . \end{matrix}

Minthogy pedig a három tényező összege állandó, a maximum beálltának

\begin{matrix} x + \frac{α}{a} = y + \frac{β}{b} = z + \frac{γ}{c} \end{matrix}

a föltételei, melyek az

\begin{matrix} x + y + z = const. \end{matrix}

föltétellel kapcsolatban az

x, y, z

meghatározására szükséges 3 egyenletet szolgáltatják.

38. Ha

x + y = const.,

vizsgáljuk meg az

x^{2} + y^{2}

és

x^{3} + y^{3}

kifejezések eminens értékeit.
Legyen

\begin{matrix} x + y = a \end{matrix}

(a)

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y \end{matrix}

\begin{matrix} = a^{2} - 2 x y . \end{matrix}

Tudjuk, hogy

x y

-nak maximuma

x = y

esetében áll elő; tehát ugyanez esetben

(x^{2} + y^{2})

-nek minimuma fog bekövetkezni.
(b)

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = {(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y) \end{matrix}

\begin{matrix} = a^{3} - 3 a x y, \end{matrix}

tehát itt is

x = y

esetében következik be

x^{3} + y^{3}

maximuma.
Az utóbbi vizsgálat egy érdekes geometriai feladatnak megoldását foglalja magában. Adott a hosszúságú egyenes oly két részre osztandó, hogy a részek mint átmérők fölött álló gömbök térfogatainak összege eminens értékű legyen.
Ha

x

és

y

a gömbök átmérői, akkor

\begin{matrix} x + y = a \end{matrix}

esetében

\begin{matrix} \frac{π x^{3}}{6} + \frac{π y^{3}}{6} \end{matrix}

minimuma

\begin{matrix} x = y = \frac{a}{2} \end{matrix}

föltétel mellett, maximuma pedig akkor áll be, ha akár

x

, akár

y

zérussá válik.

39. Az állandó felszínű egyenes körhengerek közül melyiknek köbtartalma maximális?
Az állandó felszínt

2 π a^{2}

-nek véve, legyen

x

az alapkör küllője,

y

a henger magassága; akkor

\begin{matrix} 2 π x^{2} + π x y = 2 π a^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} y = \frac{a^{2} - x^{2}}{x} . \end{matrix}

A térfogat

\begin{matrix} v = π x^{2} y \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{π x^{2} (a^{2} - x^{2})}{x} \end{matrix}

\begin{matrix} = π x (a^{2} - x^{2}) . \end{matrix}

A térfogat az

\begin{matrix} x (a^{2} - x^{2}) \end{matrix}

szorzattal egyidejűleg válik maximálissá. Ez pedig négyzetével, vagyis

\begin{matrix} x^{2} {(a^{2} - x^{2})}^{2} -tel \end{matrix}

egyidejűleg válik maximálissá. Ezt így is írhatjuk:

\begin{matrix} {(x^{2})}^{1} \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{2} . \end{matrix}

Minthogy a tényezők összege állandó, maximum esetében a tényezők arányosak kitevőikkel, s így

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{1} = \frac{a^{2} - x^{2}}{2}, \end{matrix}

honnét

\begin{matrix} x = \frac{a \sqrt[]{3}}{3} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} y = \frac{2 a \sqrt[]{3}}{3} \end{matrix}

a maximális térfogat pedig

\begin{matrix} \frac{2 π a^{3} \sqrt[]{3}}{9} . \end{matrix}

Az egyenlő felszínű körhengerek közül az egyenlőoldalú körhengernek térfogata maximális.