Cím: Az algebrai függvényekről és az elemi úton megfejthető maximum-minimum feladatokról 5.
Szerző(k):  Dr. Bozóky Endre 
Füzet: 1901/január, 133 - 137. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

V.

 
23. Schellbach-féle módszer. Ezt a sok esetben előnyösen alkalmazható módszert Maksay Zsigmond (1850‐1896) ismertette a K. M. L. II. kötetében (34. lap); egyszersmind néhány idevaló feladatot (34., 35., 36., 37. és 54. lap) is közölt.
24. A Steiner-féle feladatra még egyszer, más szempontból, visszatérve, azt vizsgáljuk, vajon két positív változó szorzata, mikor válik maximálissá, ha összegük állandó szám? Már ott azt találtuk, hogy x+y=2a feltétel mellett xy akkor maximális, ha x=y=a.
Ezt a nevezetes körülményt még egy más úton is igazolhatjuk. Ugyanis, ha
x+y=2a
akkor a következő identitás
4xy=(x+y)2-(x-y)2
ilyen alakot ölt:
4xy=4a2-(x-y)2
honnét
xy=a2-(x-y2)2.
E kifejezés akkor maximális értékű, ha a kivonandó eltűnik, tehát ha x=y.
 
25. Közös alap fölött álló, egyenlő kerületű háromszögek közül melyiknek területe a legnagyobb?
Ha a az alap, 2s a kerület és b,c a változó oldalak, akkor a terület Heron képlete szerint
t=s(s-a)(s-b)(s-c)
t2-nek maximuma ugyanakkor áll elő, a mikor t-é; minthogy
s(s-a)
állandó mennyiség, ennélfogva a
t2s(s-a)=(s-b)(s-c)
kifejezés maximumát kereshetjük. A jobboldali két tényező összege
s-b+s-c=2s-(b+c)=a
állandó mennyiség lévén, tételünk szerint a maximum esete akkor áll be, ha
s-b=s-c
vagyis, ha
b=c.

 
26. Adott gömb köré minimális térfogatú kúp írandó. (K. M. L. 155.)
A mellékelt idomot SA mint tengely körül forgatván, egyrészt a gömböt, másrészt a körülírt kúpot kapjuk. Megállapítandó S-nek azon helyzete, melyre nézve a kúp minimális köbtartalmú. Hogy maximumról nem lehet szó, azt közvetlenül belátjuk abból, hogy a G-től távozó S-re nézve a kúp mindinkább közeledik a körülírt hengerhez, ennek térfogata pedig . Ha pedig S mindinkább közeledik G-hez, akkor a kúp alapköre válik -né. Ezen két szélső érték közt kell egy minimumnak feküdnie.
Legyen x a kúp magassága, y az alapkör küllője, R a gömb küllője, akkor a kúp köbtartalma
V=13πy2x.

Ezt a függvényt korábbi közvetlen módszereinkkel bajos volna tárgyalás alá venni. Ily alakban legutóbbi tételünk sem alkalmazható rá közvetlenül.
 

 

BASOCS
miatt
AB:OC=AS:SC
vagy
y:R=x:x(x-2R)
honnét
y2=R2xx-2R.
Ezt V-nek értékénél tekintetbe véve:
V=13πR2x2x-2R.
Most már alkalmazhatnók rá a parameteres módszert. Tekintve azt, hogy V kifejezésében csak az
x2x-2R
tényező változó, következésképpen V-nek minimális értéke ezen tényező minimális értékével, vagy a megfordított
x-2Rx2
függvény maximális értékével áll be egyidejűleg. Az utóbbi törtszám
1x(1-2Rx)
alakban is írható, vagy pedig identikus átalakítással
12R2Rx(1-2Rx)
alakban, s így a térfogat minimális lesz, ha
2Rx(1-2Rx)
maximálissá válik. De ebben a szorzatban a tényezők összege
2Rx+1-2Rx=1
s így állandó, s ezért a maximum esetében
2Rx=1-2Rx
vagyis
x=4R
s így
y=R2
s a minimális térfogat
V=83πR3.

Ezzel egyidejűleg a következő feladat is megoldást nyert:
27. Adott gömb körül minimális felszínnel bíró kúp írandó.
A gömb körül írt idomok térfogatai ezen idomok felszíneivel arányosak lévén, minthogy a minimális térfogatú kúp és a gömb térfogatai úgy aránylanak egymáshoz, mint 2:1, már előre tudjuk, hogy a minimális felszínű kúpnak kétszer akkora lesz a felszíne, mint az adott gömbé. A kúp felszíne
F=πyx2+y2+πy2.
A megelőzők szerint
y:R=x:x(x-2R).
yR=x2+y2x-R
honnét
x2+y2=y(x-R)R.
és
y2=R2xx-2R.
Ezeket a felszín kifejezésébe helyettesítvén
F=πy2(x-R)R+πR2xx-2R.
A nevezőket eltávolítván
FR(x-2R)=πy2(x-R)(x-2R)+πR3x
F-et paraméternek tekintvén, most alkalmazhatjuk a paraméteres módszert. Előbb azonban tekintetbe véve azt, hogy
y2(x-2R)=R2x
felírhatjuk azt, hogy
FR(x-2R)=πR2x(x-R)+πR3x
s a lehetséges összevonások után:
πR2x-Fx+2RF=0
x reálitásának föltétele:
F2-8πR2F0
más szóval
F8πR2.
A minimum esete beáll, ha
F=8πR2;
de akkor
x=F2πR=4R
mint a megelőző feladatban.
Az eddigiek begyakorlására oldjuk meg a következő feladatokat:
893. (a) Egy R küllőjű körben az átmérőre merőleges húrt húzván, ennek végpontjait összekötjük az átmérő végpontjaival. Mily föltétel mellett lesz a húr, mint közös alap fölött álló két háromszög területeinek különbsége maximális?
(b) Egy állandó kerületű téglalap oldalaira mint átmérőkre a téglalapon kívül fekvő félköröket rajzolunk. Mikor válik az így keletkezett idom területe minimálissá?
(c) Az a oldalú szabályos háromszögbe minimális területű szabályos háromszög írandó.
(d) Egy R sugarú félkör átmérőjén fölveszünk egy pontot. Az így keletkezett szeletek mint átmérők fölött félköröket rajzolunk. Állapítsuk meg annak föltételét, hogy a keletkezett holdacs területe maximálissá váljék, és vizsgáljuk meg, miként változik ez a terület, ha a fölvett pont az átmérőn végig halad?
894. (e) Egy R sugarú körben húzzuk meg azt a húrt, mely a körnek a húrral párhuzamos átmérője körül való forgatása közben maximális felületű hengerpalástot ír le.
895. (f) Egy adott szám úgy bontandó két részre, hogy azon összeg, melynek egyik tagja az első és második rész hányadosa, másik tagja pedig ezen hányados reciprok értéke, minimálissá váljék.
(g) Egy adott szám úgy bontandó két részre, hogy a részek négyzetgyökeinek összege maximális legyen.