Cím: Az algebrai függvényekről és az elemi úton megfejthető maximum-minimum feladatokról 1.
Szerző(k):  Dr. Bozóky Endre 
Füzet: 1900/szeptember, 4 - 8. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Mi az a függvény? Erre a kérdésre rövid, de általános érvényű feleletet adni rendkívül nehéz. Mivel azonban tárgyunk igen specziális jellegű, azért erre az Euler-féle értelmezés teljesen kielégítőnek fog bizonyulni. Euler azt a feleletet adta, hogy függvény alatt azt az analytikai kifejezést értjük, mely egy változó mennyiség és bizonyos állandó mennyiségek közt fennáll. Az "analytikai kifejezés" értelmét úgy állapította meg, hogy a függvényben az algebrai műveleteken kívül még a logarithmus, exponenses mennyiségek és számtalan egyéb kapcsolatok is szerepelhetnek, ezzel a függvény-fajok kimeríthetetlen sokaságára rámutatván.
Algebrai és főleg geometriai tanulmányaink közben gyakran találkozunk változó és állandó mennyiségek kapcsolatával. Legtöbbször nem történik utalás az ily kapcsolatoknak függvény voltukra. Tudjuk pl., hogy a kör kerületét 2rπ, területét r2π adja. Ezekben π az állandó mennyiség, r a változni képes mennyiség, melynek értékétől egy másik mennyiségnek, a kerületnek, illetőleg a területnek értéke függ.
Minthogy r-nek értékét magunk szabhatjuk meg, azért ezt a változó mennyiséget független változó-nak nevezzük; r-rel együtt azonban a kerület és terület is megváltozik, tehát ezek ugyancsak változó mennyiségek. Minthogy azonban értékük a független változó értékével szoros kapcsolatban áll, azért ezeket a független változóval szemben függő változók-nak nevezzük.
A változókat rendszerint az abc utolsó betűivel szoktuk jelölni, még pedig x-nek nevezzük a független változót, y-nak a függő változót. E szerint y=2πx, illetőleg y=πx2 volnának a fenti függvények jelölései.
2. Hogyan jelöljük a függvényt általánosságban? A függvény jelölésére általános jelvény is szolgál. Ugyanis a függvényben szereplő állandókat nem tekintvén, első sorban a változókra kell figyelmünket fordítani. Ha már most a függvény (functio) szó kezdőbetűjével f-fel azokat a műveleteket jelöljük, melyek a független változót az állandókkal összekötik, akkor már ráakadtunk a szükséges jelvényre. Tegyük ki f mellé x-et, a független változót, s legyen gondunk arra, hogy felírt jelvényünk se szorzatnak, se hatványnak tekinthető ne legyen, akkor czélt értünk. Ez pedig az f(x) alakban való jelöléssel érhető el. Ha még a függő változót is tekintetbe vesszük, akkor a függvény jele:

y=f(x)
(olv. y függvénye x-nek).
Az ilyen függvényt kifejtett, explicit függvénynek nevezzük, a mennyiben a függő változó a független változótól elkülönítetten fordul elő. De ha pl.
y2+ax+b=0
olyként értelmeztetnék, hogy benne y a függő, x a független változó, akkor a változók nincsenek egymástól elkülönítve, ki nem fejtett, implicit függvénnyel állunk szemben. Jelölése így eszközölhető:
f(x,y)=0.
3. A függvények osztályozása. Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy a független változónak és a függvényben szereplő állandóknak csupán reális értékeit vesszük tekintetbe. A függvények osztályozásánál az analytikai kifejezésre kell figyelnünk. Ennek jellegét a benne szereplő műveletek szabják meg. Az összeadás, kivonás, szorzás, osztás, positív egész számú kitevőre való hatványozás és gyökvonás, szóval az algebrai műveletek azok, melyek az u. n. algebrai függvények-ben még előfordulhatnak. Ha a független változó positív, egész számú kitevőre vonatkozó gyökjel alatt szerepel, akkor a függvény irrationális, ellenben, ha a független változó csupán a többi műveletekkel van az állandókkal összekapcsolva, akkor a függvény rationális.
y=ax2+bx+c
az irrationális,
y=ax2+bx+c
a rationális függvény egy-egy példája.
A törtkitevőjű és negatív kitevőjű hatványok ismeretes értelmezése alapján könnyen belátható, hogy
y=(a+bx)32
irrationális függvény, ellenben
y=(a+bx)-5
rationális függvény. Mert az első
y=(a+bx)3
a második
y=1(a+bx)5
alakban írható. Ugyanígy a negatív vagy törtkitevőjű gyök is mindig irrationális függvényre vezet. Ezzel megokoltuk azt a korlátozást, melyet a kitevőkre vonatkozólag megtettünk. Tehát: mielőtt az algebrai függvény jellege felől döntenénk, a benne szereplő összes kitevőket positív egész számok alakjában kell szerepeltetnünk.
A gyöknek többértékűsége miatt az irrationális függvényekben a függő változó egy bizonyos értékéhez a független változónak egyidejűleg több értéke tartozik; a rationális függvényekben azonban csak egy. E szerint megkülönböztetünk egyértékű és többértékű függvényeket.
A logarithmusok, az exponenses s goniometriai mennyiségek, stb., mint pl. ezek:
y=logx,y=ax,y=sinx,y=arctgx
u. n. transcendens függvények.
4. Az algebrai függvények osztályozása. A szerint, a mint a független változó osztóként szerepel, illetőleg mint ilyen nem szerepel, a függvény lehet tört függvény, illetőleg egész függvény.
y=1x
y=a+bxc+dx
törtfüggvények, ellenben
y=a+bx+cx2
egész függvény.
Az egész függvényre nézve a független változónak a legmagasabb kitevőjű hatványa mérvadó. E szerint az algebrai egész függvény lehet: elsőfokú vagy linearis, mint pl. y=a+bx; másodfokú vagy quadratikus, mint pl. y=a+bx+cx2 Az n-ed fokú algebrai egész függvény alakja tehát
y=axn+bxn-1+cxn-2+...+k.

5. A függvény folytonosságáról. A függvény akkor folytonos, ha a független változónak bármily csekély növekedtével a függő változónak ugyancsak csekély változása (növekedése, esetleg fogyása) jár.
Ez a tulajdonság vagy a független változónak minden értékére nézve, tehát a --től +-ig terjedő határok között, vagy a függő változónak egy meghatározott interealtum-ból vett értékeire vonatkozhatik. Hogy az utóbbit megértsük, hivatkozunk az
y=tgx
függvényre, mely x-nek 0-tól 90-ig terjedő értékeire nézve folytonos, de már a 0-tól 180-ig terjedő értékeire nézve nem az, mert hiszen tgx az x-nek 90-hoz igen közel álló valamely értékére nézve egy igen nagy positív számmal, a 90-ot igen csekéllyel túllépő értékére nézve pedig egy igen nagy negatív számmal egyenlő. Az y=tgx függvény folytonosságában x=90 esetére nézve szakadás áll be.
A folytonosság algebrai jellemzésénél e szerint a függvény változását kell tekintetbe vennünk. Ha a független változót valamely igen kicsiny értékkel növeljük, akkor az f(x) függvény átalakul f(x+h)-vá. A függvény értékének változását az
f(x+h)-f(x)
külömbség adja meg. Ha ez a különbség h-val egyidejűleg elenyésző csekély mennyiség, akkor a függvény folytonos. Minden egyes esetben a kérdés csak akkor van véglegesen eldöntve, ha megvizsgáljuk, hogy mely körben, mely határok közt folytonos a függvény. Könnyen kimutathatjuk, hogy tárgyalt függvényünk x-nek minden értékére nézve folytonos. Ugyanis:
f(x)=ax2+bx+c
f(x+h)=a(x+h)2+b(x+h)+c,
ha a függvény változását számítjuk, akkor
f(x+h)-f(x)=a(x+h)2+b(x+h)+c-(ax2+bx+c)=
=ah2+2ahx+bh=h(ah+2ax+b).
Már pedig, tekintet nélkül arra, hogy x-nek mely véges értékéből indulunk ki,
h(ah+2ax+b)
a h-val egyidejűleg válik végtelenül kicsinnyé s így a 2-od fokú algebrai egész függvény a független változónak minden értékére nézve folytonos.