Kezdőlap


Cím:	Az algebrai függvényekről és az elemi úton megfejthető maximum-minimum feladatokról 1.
Szerző(k):	Dr. Bozóky Endre
Füzet:	1900/szeptember, 4 - 8. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Mi az a függvény? Erre a kérdésre rövid, de általános érvényű feleletet adni rendkívül nehéz. Mivel azonban tárgyunk igen specziális jellegű, azért erre az Euler-féle értelmezés teljesen kielégítőnek fog bizonyulni. Euler azt a feleletet adta, hogy függvény alatt azt az analytikai kifejezést értjük, mely egy változó mennyiség és bizonyos állandó mennyiségek közt fennáll. Az "analytikai kifejezés" értelmét úgy állapította meg, hogy a függvényben az algebrai műveleteken kívül még a logarithmus, exponenses mennyiségek és számtalan egyéb kapcsolatok is szerepelhetnek, ezzel a függvény-fajok kimeríthetetlen sokaságára rámutatván.
Algebrai és főleg geometriai tanulmányaink közben gyakran találkozunk változó és állandó mennyiségek kapcsolatával. Legtöbbször nem történik utalás az ily kapcsolatoknak függvény voltukra. Tudjuk pl., hogy a kör kerületét $2 r π$ , területét $r^{2} π$ adja. Ezekben $π$ az állandó mennyiség, $r$ a változni képes mennyiség, melynek értékétől egy másik mennyiségnek, a kerületnek, illetőleg a területnek értéke függ.
Minthogy $r$ -nek értékét magunk szabhatjuk meg, azért ezt a változó mennyiséget független változó-nak nevezzük; $r$ -rel együtt azonban a kerület és terület is megváltozik, tehát ezek ugyancsak változó mennyiségek. Minthogy azonban értékük a független változó értékével szoros kapcsolatban áll, azért ezeket a független változóval szemben függő változók-nak nevezzük.
A változókat rendszerint az abc utolsó betűivel szoktuk jelölni, még pedig $x$ -nek nevezzük a független változót, $y$ -nak a függő változót. E szerint $y = 2 π x$ , illetőleg $y = π x^{2}$ volnának a fenti függvények jelölései.
2. Hogyan jelöljük a függvényt általánosságban? A függvény jelölésére általános jelvény is szolgál. Ugyanis a függvényben szereplő állandókat nem tekintvén, első sorban a változókra kell figyelmünket fordítani. Ha már most a függvény (functio) szó kezdőbetűjével $f$ -fel azokat a műveleteket jelöljük, melyek a független változót az állandókkal összekötik, akkor már ráakadtunk a szükséges jelvényre. Tegyük ki $f$ mellé $x$ -et, a független változót, s legyen gondunk arra, hogy felírt jelvényünk se szorzatnak, se hatványnak tekinthető ne legyen, akkor czélt értünk. Ez pedig az $f (x)$ alakban való jelöléssel érhető el. Ha még a függő változót is tekintetbe vesszük, akkor a függvény jele:

\begin{matrix} y = f (x) \end{matrix}

(olv.

y

függvénye

x

-nek).
Az ilyen függvényt kifejtett, explicit függvénynek nevezzük, a mennyiben a függő változó a független változótól elkülönítetten fordul elő. De ha pl.

\begin{matrix} y^{2} + a x + b = 0 \end{matrix}

olyként értelmeztetnék, hogy benne

y

a függő,

x

a független változó, akkor a változók nincsenek egymástól elkülönítve, ki nem fejtett, implicit függvénnyel állunk szemben. Jelölése így eszközölhető:

\begin{matrix} f (x, y) = 0. \end{matrix}

3. A függvények osztályozása. Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy a független változónak és a függvényben szereplő állandóknak csupán reális értékeit vesszük tekintetbe. A függvények osztályozásánál az analytikai kifejezésre kell figyelnünk. Ennek jellegét a benne szereplő műveletek szabják meg. Az összeadás, kivonás, szorzás, osztás, positív egész számú kitevőre való hatványozás és gyökvonás, szóval az algebrai műveletek azok, melyek az u. n. algebrai függvények-ben még előfordulhatnak. Ha a független változó positív, egész számú kitevőre vonatkozó gyökjel alatt szerepel, akkor a függvény irrationális, ellenben, ha a független változó csupán a többi műveletekkel van az állandókkal összekapcsolva, akkor a függvény rationális.

\begin{matrix} y = \sqrt[]{a x^{2} + b x + c} \end{matrix}

az irrationális,

\begin{matrix} y = a x^{2} + b x + c \end{matrix}

a rationális függvény egy-egy példája.
A törtkitevőjű és negatív kitevőjű hatványok ismeretes értelmezése alapján könnyen belátható, hogy

\begin{matrix} y = {(a + b x)}^{\frac{3}{2}} \end{matrix}

irrationális függvény, ellenben

\begin{matrix} y = {(a + b x)}^{- 5} \end{matrix}

rationális függvény. Mert az első

\begin{matrix} y = \sqrt[]{{(a + b x)}^{3}} \end{matrix}

a második

\begin{matrix} y = \frac{1}{{(a + b x)}^{5}} \end{matrix}

alakban írható. Ugyanígy a negatív vagy törtkitevőjű gyök is mindig irrationális függvényre vezet. Ezzel megokoltuk azt a korlátozást, melyet a kitevőkre vonatkozólag megtettünk. Tehát: mielőtt az algebrai függvény jellege felől döntenénk, a benne szereplő összes kitevőket positív egész számok alakjában kell szerepeltetnünk.
A gyöknek többértékűsége miatt az irrationális függvényekben a függő változó egy bizonyos értékéhez a független változónak egyidejűleg több értéke tartozik; a rationális függvényekben azonban csak egy. E szerint megkülönböztetünk egyértékű és többértékű függvényeket.
A logarithmusok, az exponenses s goniometriai mennyiségek, stb., mint pl. ezek:

\begin{matrix} y = log x, y = a^{x}, y = sin x, y = a r ctg x \end{matrix}

u. n. transcendens függvények.
4. Az algebrai függvények osztályozása. A szerint, a mint a független változó osztóként szerepel, illetőleg mint ilyen nem szerepel, a függvény lehet tört függvény, illetőleg egész függvény.

\begin{matrix} y = \frac{1}{x} \end{matrix}

\begin{matrix} y = \frac{a + b x}{c + d x} \end{matrix}

törtfüggvények, ellenben

\begin{matrix} y = a + b x + c x^{2} \end{matrix}

egész függvény.
Az egész függvényre nézve a független változónak a legmagasabb kitevőjű hatványa mérvadó. E szerint az algebrai egész függvény lehet: elsőfokú vagy linearis, mint pl.

y = a + b x

; másodfokú vagy quadratikus, mint pl.

y = a + b x + c x^{2}

n

-ed fokú algebrai egész függvény alakja tehát

\begin{matrix} y = a x^{n} + b x^{n - 1} + c x^{n - 2} + ... + k . \end{matrix}

5. A függvény folytonosságáról. A függvény akkor folytonos, ha a független változónak bármily csekély növekedtével a függő változónak ugyancsak csekély változása (növekedése, esetleg fogyása) jár.
Ez a tulajdonság vagy a független változónak minden értékére nézve, tehát a

- \infty

-től

+ \infty

-ig terjedő határok között, vagy a függő változónak egy meghatározott interealtum-ból vett értékeire vonatkozhatik. Hogy az utóbbit megértsük, hivatkozunk az

\begin{matrix} y = tg x \end{matrix}

függvényre, mely

x

-nek

0^{\circ}

-tól

90^{\circ}

-ig terjedő értékeire nézve folytonos, de már a

0^{\circ}

-tól

180^{\circ}

-ig terjedő értékeire nézve nem az, mert hiszen

tg x

x

-nek

90^{\circ}

-hoz igen közel álló valamely értékére nézve egy igen nagy positív számmal, a

90^{\circ}

-ot igen csekéllyel túllépő értékére nézve pedig egy igen nagy negatív számmal egyenlő. Az

y = tg x

függvény folytonosságában

x = 90^{\circ}

esetére nézve szakadás áll be.
A folytonosság algebrai jellemzésénél e szerint a függvény változását kell tekintetbe vennünk. Ha a független változót valamely igen kicsiny értékkel növeljük, akkor az

f (x)

függvény átalakul

f (x + h)

-vá. A függvény értékének változását az

\begin{matrix} f (x + h) - f (x) \end{matrix}

külömbség adja meg. Ha ez a különbség

h

-val egyidejűleg elenyésző csekély mennyiség, akkor a függvény folytonos. Minden egyes esetben a kérdés csak akkor van véglegesen eldöntve, ha megvizsgáljuk, hogy mely körben, mely határok közt folytonos a függvény. Könnyen kimutathatjuk, hogy tárgyalt függvényünk

x

-nek minden értékére nézve folytonos. Ugyanis:

\begin{matrix} f (x) = a x^{2} + b x + c \end{matrix}

\begin{matrix} f (x + h) = a {(x + h)}^{2} + b (x + h) + c, \end{matrix}

ha a függvény változását számítjuk, akkor

\begin{matrix} f (x + h) - f (x) = a {(x + h)}^{2} + b (x + h) + c - (a x^{2} + b x + c) = \end{matrix}

\begin{matrix} = a h^{2} + 2 a h x + b h = h (a h + 2 a x + b) . \end{matrix}

Már pedig, tekintet nélkül arra, hogy

x

-nek mely véges értékéből indulunk ki,

\begin{matrix} h (a h + 2 a x + b) \end{matrix}

h

-val egyidejűleg válik végtelenül kicsinnyé s így a

2

-od fokú algebrai egész függvény a független változónak minden értékére nézve folytonos.