A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Mi az a függvény? Erre a kérdésre rövid, de általános érvényű feleletet adni rendkívül nehéz. Mivel azonban tárgyunk igen specziális jellegű, azért erre az Euler-féle értelmezés teljesen kielégítőnek fog bizonyulni. Euler azt a feleletet adta, hogy függvény alatt azt az analytikai kifejezést értjük, mely egy változó mennyiség és bizonyos állandó mennyiségek közt fennáll. Az "analytikai kifejezés" értelmét úgy állapította meg, hogy a függvényben az algebrai műveleteken kívül még a logarithmus, exponenses mennyiségek és számtalan egyéb kapcsolatok is szerepelhetnek, ezzel a függvény-fajok kimeríthetetlen sokaságára rámutatván. Algebrai és főleg geometriai tanulmányaink közben gyakran találkozunk változó és állandó mennyiségek kapcsolatával. Legtöbbször nem történik utalás az ily kapcsolatoknak függvény voltukra. Tudjuk pl., hogy a kör kerületét , területét adja. Ezekben az állandó mennyiség, a változni képes mennyiség, melynek értékétől egy másik mennyiségnek, a kerületnek, illetőleg a területnek értéke függ. Minthogy -nek értékét magunk szabhatjuk meg, azért ezt a változó mennyiséget független változó-nak nevezzük; -rel együtt azonban a kerület és terület is megváltozik, tehát ezek ugyancsak változó mennyiségek. Minthogy azonban értékük a független változó értékével szoros kapcsolatban áll, azért ezeket a független változóval szemben függő változók-nak nevezzük. A változókat rendszerint az abc utolsó betűivel szoktuk jelölni, még pedig -nek nevezzük a független változót, -nak a függő változót. E szerint , illetőleg volnának a fenti függvények jelölései. 2. Hogyan jelöljük a függvényt általánosságban? A függvény jelölésére általános jelvény is szolgál. Ugyanis a függvényben szereplő állandókat nem tekintvén, első sorban a változókra kell figyelmünket fordítani. Ha már most a függvény (functio) szó kezdőbetűjével -fel azokat a műveleteket jelöljük, melyek a független változót az állandókkal összekötik, akkor már ráakadtunk a szükséges jelvényre. Tegyük ki mellé -et, a független változót, s legyen gondunk arra, hogy felírt jelvényünk se szorzatnak, se hatványnak tekinthető ne legyen, akkor czélt értünk. Ez pedig az alakban való jelöléssel érhető el. Ha még a függő változót is tekintetbe vesszük, akkor a függvény jele: (olv. függvénye -nek). Az ilyen függvényt kifejtett, explicit függvénynek nevezzük, a mennyiben a függő változó a független változótól elkülönítetten fordul elő. De ha pl. olyként értelmeztetnék, hogy benne a függő, a független változó, akkor a változók nincsenek egymástól elkülönítve, ki nem fejtett, implicit függvénnyel állunk szemben. Jelölése így eszközölhető: 3. A függvények osztályozása. Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy a független változónak és a függvényben szereplő állandóknak csupán reális értékeit vesszük tekintetbe. A függvények osztályozásánál az analytikai kifejezésre kell figyelnünk. Ennek jellegét a benne szereplő műveletek szabják meg. Az összeadás, kivonás, szorzás, osztás, positív egész számú kitevőre való hatványozás és gyökvonás, szóval az algebrai műveletek azok, melyek az u. n. algebrai függvények-ben még előfordulhatnak. Ha a független változó positív, egész számú kitevőre vonatkozó gyökjel alatt szerepel, akkor a függvény irrationális, ellenben, ha a független változó csupán a többi műveletekkel van az állandókkal összekapcsolva, akkor a függvény rationális. az irrationális, a rationális függvény egy-egy példája. A törtkitevőjű és negatív kitevőjű hatványok ismeretes értelmezése alapján könnyen belátható, hogy irrationális függvény, ellenben rationális függvény. Mert az első a második alakban írható. Ugyanígy a negatív vagy törtkitevőjű gyök is mindig irrationális függvényre vezet. Ezzel megokoltuk azt a korlátozást, melyet a kitevőkre vonatkozólag megtettünk. Tehát: mielőtt az algebrai függvény jellege felől döntenénk, a benne szereplő összes kitevőket positív egész számok alakjában kell szerepeltetnünk. A gyöknek többértékűsége miatt az irrationális függvényekben a függő változó egy bizonyos értékéhez a független változónak egyidejűleg több értéke tartozik; a rationális függvényekben azonban csak egy. E szerint megkülönböztetünk egyértékű és többértékű függvényeket. A logarithmusok, az exponenses s goniometriai mennyiségek, stb., mint pl. ezek: | | u. n. transcendens függvények. 4. Az algebrai függvények osztályozása. A szerint, a mint a független változó osztóként szerepel, illetőleg mint ilyen nem szerepel, a függvény lehet tört függvény, illetőleg egész függvény. törtfüggvények, ellenben egész függvény. Az egész függvényre nézve a független változónak a legmagasabb kitevőjű hatványa mérvadó. E szerint az algebrai egész függvény lehet: elsőfokú vagy linearis, mint pl. ; másodfokú vagy quadratikus, mint pl. Az -ed fokú algebrai egész függvény alakja tehát
5. A függvény folytonosságáról. A függvény akkor folytonos, ha a független változónak bármily csekély növekedtével a függő változónak ugyancsak csekély változása (növekedése, esetleg fogyása) jár. Ez a tulajdonság vagy a független változónak minden értékére nézve, tehát a -től -ig terjedő határok között, vagy a függő változónak egy meghatározott interealtum-ból vett értékeire vonatkozhatik. Hogy az utóbbit megértsük, hivatkozunk az függvényre, mely -nek -tól -ig terjedő értékeire nézve folytonos, de már a -tól -ig terjedő értékeire nézve nem az, mert hiszen az -nek -hoz igen közel álló valamely értékére nézve egy igen nagy positív számmal, a -ot igen csekéllyel túllépő értékére nézve pedig egy igen nagy negatív számmal egyenlő. Az függvény folytonosságában esetére nézve szakadás áll be. A folytonosság algebrai jellemzésénél e szerint a függvény változását kell tekintetbe vennünk. Ha a független változót valamely igen kicsiny értékkel növeljük, akkor az függvény átalakul -vá. A függvény értékének változását az külömbség adja meg. Ha ez a különbség -val egyidejűleg elenyésző csekély mennyiség, akkor a függvény folytonos. Minden egyes esetben a kérdés csak akkor van véglegesen eldöntve, ha megvizsgáljuk, hogy mely körben, mely határok közt folytonos a függvény. Könnyen kimutathatjuk, hogy tárgyalt függvényünk -nek minden értékére nézve folytonos. Ugyanis: ha a függvény változását számítjuk, akkor | | | | Már pedig, tekintet nélkül arra, hogy -nek mely véges értékéből indulunk ki, a -val egyidejűleg válik végtelenül kicsinnyé s így a -od fokú algebrai egész függvény a független változónak minden értékére nézve folytonos. |