Cím: Vázlatok a mathematika történetéből 3. (Apollonius)
Szerző(k):  Baumgartner Alajos 
Füzet: 1900/november, 57 - 60. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Apollonius.
 

A III. könyv sok és nevezetes tételt tartalmaz,
melyek bizonyos feladatok megoldásánál hasznosaknak
bizonyulnak, valamint olyanoknál is, melyek mértani
helyekre vezetnek; ezek közül a legtöbbje igen szép és új is.
 

E könyv 1. tétele így szól: vegyünk fel a kúpszeleten két pontot: M1 és M2 (1. ábra) és rajzoljuk meg mindkét ponthoz az érintőket; kössük továbbá össze e pontokat a kúpszelet középpontjával: O-val és hosszabbítsuk meg ez egyeneseket mindaddig, míg az OM1 meghosszabbítása az M2 ponthoz tartozó érintőt T1-ben és az OM2 meghosszabbítása az M1 ponthoz tartozó érintőt T2-ben metszi; ha még az érintők metszési pontját R-rel jelöljük, akkor az M1RT1 háromszög területe egyenlő az M2RT2 háromszögével.
 

 

A következő 43 tétel mind evvel az elsővel áll összefüggésben. Ezek közül a legnevezetesebb a következő két tétel: vonjunk Pl pontból a kúpszelethez (l. ábra) két szelőt: A1B1 és C1D1; akkor a tétel értelmében
P1A1P1B1P1C1P1D1=P2A2P2B2P2C2P2D2,

ha egy másik P2 pontból vont szelők megfelelően párhuzamosak a P1-ből vont szelőkkel.
 

 

A másik tétel pedig így szól: rajzoljunk P pontból a kúpszelethez egy AB szelőt (l. ábra) és szerkesszük meg ugyancsak a P pontból a kúpszelethez a két érintőt is: PC és PD.
 

 

Ha az AB és CD szelők metszési pontja Q, akkor az A,B,P és Q pontok harmonikus metszést alkotnak vagyis:
PAPB=QAQB.

A 45. tételben Apollonius a kúpszeletek gyújtópontjairól szól, ámbár nem ad nekik megfelelő határozott nevet, hanem csak e nem igen sokat mondó kifejezést használja: σημεα íx τηρ παραβoληρ (pontok, melyek a felületvetésből származnak). Nevezetes azonban az, hogy a parabolának az egy gyújtópontjáról nem tesz említést; a másik két kúpszeletre nézve pedig azt a tételt mondja ki, hogy a gyújtópont oly tulajdonságú, hogy a nagy tengelynek általa elmetszett szeleteinek téglalapja egyenlő a fél nagy tengely és a fél parameter által alkotott téglalappal vagy pedig továbbá a fél kis tengelyre rajzolt négyzettel.
A 48. tétel azt mondja, hogy a kúpszelet bármely kerületi pontjához vont radius vectorok az illető ponthoz tartozó érintővel egyenlő szögeket zárnak be.
Az 52. tétel az ellipsisnek azt az alapvető definícióját mondja ki, hogy a radius vectorok összege akkora, mint a nagy tengely és ennek alapján az ellipsist oly vonalnak jelenti ki, melynek minden pontja oly két kör metszési pontja, melyeknek sugarai együttvéve az ellipsis nagy tengelyét adják.
Apollonius ezek után a hyperbolára vonatkozó analog tételeket adja meg és a parabolának ama tételével, hogy annak minden pontja egy adott ponttól és egy adott egyenestől egyenlő távolságban van, befejezi a III. könyvet.
 

"A IV. könyv a kúpszeleteknek egymással való
összekapcsolását tárgyalja, hogy hányféle módon
találkozhatnak egymással vagy a körrel, és még sok
egyebet; a miről elődeinktő1 nem maradt ránk semmi."
 

A kúpszeletek találkozása alatt azok metszése és érintkezése értendő; erre vonatkozólag Apollonius kiemeli, hogy két kúpszelet négy pontban metszheti egymást vagy hogy két kúpszeletnek két metszési és egy érintési pontja lehet, esetleg egészben csak két érintési pontja; továbbá hogy két parabolának csak egy érintési pontja lehet, valamint egy parabolának és egy hyperbolának is, a mikor a parabola a hyperbolán kívül fekszik és ugyancsak egy érintő pontja van a parabolának és az ellipsisnek, a mikor az ellipsis kívülről érinti a parabolát.
Apollonius a delosi problemával is foglalkozott és a két adott egyenes közé beékelendő két középarányos megszerkesztésére a következő módot ismertette: szerkesszünk az OA=a és OB=b oldalakkal AOBC téglalapot (1. ábra) és rajzoljunk e téglalap középpontjához: K-hoz, mint körközépponthoz oly körívet, hogy annak az OA és OB meghosszabbításával való D és E metszési pontjait összekötő húrja a C ponton is menjen keresztül.
 

 

Az a és b közé ékelt középarányosok ekkor BE és AD lesznek, úgy hogy:
a:BE=BE:AD=AD:b.
 

"Az V. könyv tüzetesen foglalkozik a
leghosszabb és a legrövidebb vonalak tanával."
 

Az V. könyvben azokról a leghosszabb és legrövidebb vonalokról van szó, melyeket a kúpszeletekhez az azokon kívül vagy belül fekvő pontokból lehet húzni; mindegyik esetben a feladat az illető kúpszelet és ama kör érintésére vezethető vissza, mely körnek középpontja az illető adott pont. A könyv elején azokkal elemi esetekkel foglalkozik, a mikor az adott pont a kúpszelet tengelyeiben fekszik, de később az adott pont általános fekvésének esetében Apollonius bámulatos virtuozitást fejt ki a megoldási módszerek alkalmazásában. Ezek után a kúpszeletek subnormálisával foglalkozik. Ha bármely görbe egyik pontjában az e ponthoz tartozó érintőre merőlegest rajzolunk, e merőlegesnek az illető ponttól egészen a tengellyel való metszési pontjáig terjedő részét normális-nak nevezzük; e normálisnak a tengelyre eső vetülete pedig a subnormális. Apollonius V. könyvének egyik tétele arról szól, hogy a parabola subnormálisa mindig állandó és pedig p2, hogy ha a parabola egyenlete: y2=px.