A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Apollonius.
A III. könyv sok és nevezetes tételt tartalmaz, melyek bizonyos feladatok megoldásánál hasznosaknak bizonyulnak, valamint olyanoknál is, melyek mértani helyekre vezetnek; ezek közül a legtöbbje igen szép és új is. E könyv 1. tétele így szól: vegyünk fel a kúpszeleten két pontot: és (1. ábra) és rajzoljuk meg mindkét ponthoz az érintőket; kössük továbbá össze e pontokat a kúpszelet középpontjával: -val és hosszabbítsuk meg ez egyeneseket mindaddig, míg az meghosszabbítása az ponthoz tartozó érintőt -ben és az meghosszabbítása az ponthoz tartozó érintőt -ben metszi; ha még az érintők metszési pontját -rel jelöljük, akkor az háromszög területe egyenlő az háromszögével.
A következő 43 tétel mind evvel az elsővel áll összefüggésben. Ezek közül a legnevezetesebb a következő két tétel: vonjunk pontból a kúpszelethez (l. ábra) két szelőt: és ; akkor a tétel értelmében | |
ha egy másik pontból vont szelők megfelelően párhuzamosak a -ből vont szelőkkel.
A másik tétel pedig így szól: rajzoljunk pontból a kúpszelethez egy szelőt (l. ábra) és szerkesszük meg ugyancsak a pontból a kúpszelethez a két érintőt is: és .
Ha az és szelők metszési pontja , akkor az és pontok harmonikus metszést alkotnak vagyis: A 45. tételben Apollonius a kúpszeletek gyújtópontjairól szól, ámbár nem ad nekik megfelelő határozott nevet, hanem csak e nem igen sokat mondó kifejezést használja: ĩ íx o (pontok, melyek a felületvetésből származnak). Nevezetes azonban az, hogy a parabolának az egy gyújtópontjáról nem tesz említést; a másik két kúpszeletre nézve pedig azt a tételt mondja ki, hogy a gyújtópont oly tulajdonságú, hogy a nagy tengelynek általa elmetszett szeleteinek téglalapja egyenlő a fél nagy tengely és a fél parameter által alkotott téglalappal vagy pedig továbbá a fél kis tengelyre rajzolt négyzettel. A 48. tétel azt mondja, hogy a kúpszelet bármely kerületi pontjához vont radius vectorok az illető ponthoz tartozó érintővel egyenlő szögeket zárnak be. Az 52. tétel az ellipsisnek azt az alapvető definícióját mondja ki, hogy a radius vectorok összege akkora, mint a nagy tengely és ennek alapján az ellipsist oly vonalnak jelenti ki, melynek minden pontja oly két kör metszési pontja, melyeknek sugarai együttvéve az ellipsis nagy tengelyét adják. Apollonius ezek után a hyperbolára vonatkozó analog tételeket adja meg és a parabolának ama tételével, hogy annak minden pontja egy adott ponttól és egy adott egyenestől egyenlő távolságban van, befejezi a III. könyvet.
"A IV. könyv a kúpszeleteknek egymással való összekapcsolását tárgyalja, hogy hányféle módon találkozhatnak egymással vagy a körrel, és még sok egyebet; a miről elődeinktő1 nem maradt ránk semmi." A kúpszeletek találkozása alatt azok metszése és érintkezése értendő; erre vonatkozólag Apollonius kiemeli, hogy két kúpszelet négy pontban metszheti egymást vagy hogy két kúpszeletnek két metszési és egy érintési pontja lehet, esetleg egészben csak két érintési pontja; továbbá hogy két parabolának csak egy érintési pontja lehet, valamint egy parabolának és egy hyperbolának is, a mikor a parabola a hyperbolán kívül fekszik és ugyancsak egy érintő pontja van a parabolának és az ellipsisnek, a mikor az ellipsis kívülről érinti a parabolát. Apollonius a delosi problemával is foglalkozott és a két adott egyenes közé beékelendő két középarányos megszerkesztésére a következő módot ismertette: szerkesszünk az és oldalakkal téglalapot (1. ábra) és rajzoljunk e téglalap középpontjához: -hoz, mint körközépponthoz oly körívet, hogy annak az és meghosszabbításával való és metszési pontjait összekötő húrja a ponton is menjen keresztül.
Az és közé ékelt középarányosok ekkor és lesznek, úgy hogy:
"Az V. könyv tüzetesen foglalkozik a leghosszabb és a legrövidebb vonalak tanával." Az V. könyvben azokról a leghosszabb és legrövidebb vonalokról van szó, melyeket a kúpszeletekhez az azokon kívül vagy belül fekvő pontokból lehet húzni; mindegyik esetben a feladat az illető kúpszelet és ama kör érintésére vezethető vissza, mely körnek középpontja az illető adott pont. A könyv elején azokkal elemi esetekkel foglalkozik, a mikor az adott pont a kúpszelet tengelyeiben fekszik, de később az adott pont általános fekvésének esetében Apollonius bámulatos virtuozitást fejt ki a megoldási módszerek alkalmazásában. Ezek után a kúpszeletek subnormálisával foglalkozik. Ha bármely görbe egyik pontjában az e ponthoz tartozó érintőre merőlegest rajzolunk, e merőlegesnek az illető ponttól egészen a tengellyel való metszési pontjáig terjedő részét normális-nak nevezzük; e normálisnak a tengelyre eső vetülete pedig a subnormális. Apollonius V. könyvének egyik tétele arról szól, hogy a parabola subnormálisa mindig állandó és pedig , hogy ha a parabola egyenlete: . |