Kezdőlap


Cím:	Vázlatok a mathematika történetéből 3. (Apollonius)
Szerző(k):	Baumgartner Alajos
Füzet:	1900/november, 57 - 60. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Apollonius.

A III. könyv sok és nevezetes tételt tartalmaz,
melyek bizonyos feladatok megoldásánál hasznosaknak
bizonyulnak, valamint olyanoknál is, melyek mértani
helyekre vezetnek; ezek közül a legtöbbje igen szép és új is.

E könyv 1. tétele így szól: vegyünk fel a kúpszeleten két pontot:

M_{1}

és

M_{2}

(1. ábra) és rajzoljuk meg mindkét ponthoz az érintőket; kössük továbbá össze e pontokat a kúpszelet középpontjával:

O

-val és hosszabbítsuk meg ez egyeneseket mindaddig, míg az

O M_{1}

meghosszabbítása az

M_{2}

ponthoz tartozó érintőt

T_{1}

-ben és az

O M_{2}

meghosszabbítása az

M_{1}

ponthoz tartozó érintőt

T_{2}

-ben metszi; ha még az érintők metszési pontját

R

-rel jelöljük, akkor az

M_{1} R T_{1}

háromszög területe egyenlő az

M_{2} R T_{2}

háromszögével.

A következő 43 tétel mind evvel az elsővel áll összefüggésben. Ezek közül a legnevezetesebb a következő két tétel: vonjunk

P_{l}

pontból a kúpszelethez (l. ábra) két szelőt:

A_{1} B_{1}

és

C_{1} D_{1}

; akkor a tétel értelmében

\begin{matrix} \frac{P_{1} A_{1} \cdot P_{1} B_{1}}{P_{1} C_{1} \cdot P_{1} D_{1}} = \frac{P_{2} A_{2} \cdot P_{2} B_{2}}{P_{2} C_{2} \cdot P_{2} D_{2}}, \end{matrix}

ha egy másik

P_{2}

pontból vont szelők megfelelően párhuzamosak a

P_{1}

-ből vont szelőkkel.

A másik tétel pedig így szól: rajzoljunk

P

pontból a kúpszelethez egy

A B

szelőt (l. ábra) és szerkesszük meg ugyancsak a

P

pontból a kúpszelethez a két érintőt is:

P C

és

P D

Ha az

A B

és

C D

szelők metszési pontja

Q

, akkor az

A, B, P

és

Q

pontok harmonikus metszést alkotnak vagyis:

\begin{matrix} \frac{P A}{P B} = \frac{Q A}{Q B} . \end{matrix}

A 45. tételben Apollonius a kúpszeletek gyújtópontjairól szól, ámbár nem ad nekik megfelelő határozott nevet, hanem csak e nem igen sokat mondó kifejezést használja:

σ η μ ε

ĩ

α

íx

τ η ρ

π α ρ α β

λ η ρ

(pontok, melyek a felületvetésből származnak). Nevezetes azonban az, hogy a parabolának az egy gyújtópontjáról nem tesz említést; a másik két kúpszeletre nézve pedig azt a tételt mondja ki, hogy a gyújtópont oly tulajdonságú, hogy a nagy tengelynek általa elmetszett szeleteinek téglalapja egyenlő a fél nagy tengely és a fél parameter által alkotott téglalappal vagy pedig továbbá a fél kis tengelyre rajzolt négyzettel.
A 48. tétel azt mondja, hogy a kúpszelet bármely kerületi pontjához vont radius vectorok az illető ponthoz tartozó érintővel egyenlő szögeket zárnak be.
Az 52. tétel az ellipsisnek azt az alapvető definícióját mondja ki, hogy a radius vectorok összege akkora, mint a nagy tengely és ennek alapján az ellipsist oly vonalnak jelenti ki, melynek minden pontja oly két kör metszési pontja, melyeknek sugarai együttvéve az ellipsis nagy tengelyét adják.
Apollonius ezek után a hyperbolára vonatkozó analog tételeket adja meg és a parabolának ama tételével, hogy annak minden pontja egy adott ponttól és egy adott egyenestől egyenlő távolságban van, befejezi a III. könyvet.

"A IV. könyv a kúpszeleteknek egymással való
összekapcsolását tárgyalja, hogy hányféle módon
találkozhatnak egymással vagy a körrel, és még sok
egyebet; a miről elődeinktő1 nem maradt ránk semmi."

A kúpszeletek találkozása alatt azok metszése és érintkezése értendő; erre vonatkozólag Apollonius kiemeli, hogy két kúpszelet négy pontban metszheti egymást vagy hogy két kúpszeletnek két metszési és egy érintési pontja lehet, esetleg egészben csak két érintési pontja; továbbá hogy két parabolának csak egy érintési pontja lehet, valamint egy parabolának és egy hyperbolának is, a mikor a parabola a hyperbolán kívül fekszik és ugyancsak egy érintő pontja van a parabolának és az ellipsisnek, a mikor az ellipsis kívülről érinti a parabolát.
Apollonius a delosi problemával is foglalkozott és a két adott egyenes közé beékelendő két középarányos megszerkesztésére a következő módot ismertette: szerkesszünk az

O A = a

és

O B = b

oldalakkal

A O B C

téglalapot (1. ábra) és rajzoljunk e téglalap középpontjához:

K

-hoz, mint körközépponthoz oly körívet, hogy annak az

O A

és

O B

meghosszabbításával való

D

és

E

metszési pontjait összekötő húrja a

C

ponton is menjen keresztül.

a

és

b

közé ékelt középarányosok ekkor

B E

és

A D

lesznek, úgy hogy:

\begin{matrix} a : B E = B E : A D = A D : b . \end{matrix}

"Az V. könyv tüzetesen foglalkozik a
leghosszabb és a legrövidebb vonalak tanával."

Az V. könyvben azokról a leghosszabb és legrövidebb vonalokról van szó, melyeket a kúpszeletekhez az azokon kívül vagy belül fekvő pontokból lehet húzni; mindegyik esetben a feladat az illető kúpszelet és ama kör érintésére vezethető vissza, mely körnek középpontja az illető adott pont. A könyv elején azokkal elemi esetekkel foglalkozik, a mikor az adott pont a kúpszelet tengelyeiben fekszik, de később az adott pont általános fekvésének esetében Apollonius bámulatos virtuozitást fejt ki a megoldási módszerek alkalmazásában. Ezek után a kúpszeletek subnormálisával foglalkozik. Ha bármely görbe egyik pontjában az e ponthoz tartozó érintőre merőlegest rajzolunk, e merőlegesnek az illető ponttól egészen a tengellyel való metszési pontjáig terjedő részét normális-nak nevezzük; e normálisnak a tengelyre eső vetülete pedig a subnormális. Apollonius V. könyvének egyik tétele arról szól, hogy a parabola subnormálisa mindig állandó és pedig

\frac{p}{2}

, hogy ha a parabola egyenlete:

y^{2} = p x