Cím: A kúpszeletek elemi tulajdonságai (1. a parabola)
Szerző(k):  Antal Márkus 
Füzet: 1900/december, 95 - 100. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. definíczió. Azt az egyenest, mely valamely görbét metsz, a görbe szelőjének, (secans) nevezzük.
II. definíczió. Ha valamely görbe P1P2 szelőjét a P1 pont körül úgy forgatjuk, hogy P2 folyton közeledik P1-hez, akkor a P1P2 szelőnek azt a határhelyzetét, a melyben P2 a P1-gyel összeesik, érintőnek nevezzük. P1 pedig az érintési pont.
III.definíczió. Valamely görbe P1 és P2 pontjait összekötő távolságokat húrnak nevezzük
IV. definíczió. Ha található oly egyenes, illetőleg pont, melyhez képest az adott görbe pontjai szimmetrikusan helyezkednek el, akkor azt a görbe tengelyének, illetőleg középpontjának (o) nevezzük.
V. definíczió. Valamely görbe lehet véges vagy végtelen nagy és zárt vagy nyílt. A véges görbe pontjai egy meghatározott területen belül vannak, míg a végtelen görbének pontjai meghatározott terület belsejébe nem zárhatók. A zárt görbe oly véges görbevonal, a mely a síkból véges területet vág ki. Minden más görbét nyílt görbének nevezünk.
VI. definíczió. Valamely görbe lehet egy vagy többágú, a mint egy vagy több egymással össze nem függő részből áll.
VII. definíczió. Valamely görbét n-ed rendűnek nevezünk, ha valamely egyenes azt legfeljebb n pontban metszi és n-ed osztályúnak, ha valamely pontból legfeljebb n érintő húzható a görbéhez.
A következőkben oly görbéket fogunk tárgyalni, a melyek a kúpnak síkmetszeteinél jönnek létre,- miért is közös néven kúpszeleteknek nevezzük.
A kúpszeletek parabolák, ellipsisek vagy hyperbolák lehetnek. Legelőször a parabolával fogunk megismerkedni.

 
I. A parabola.
 

I. definíczió. A sík azon pontjainak mértani helyét, melyek adott egyenestől (vezérvonal, directrix: V1V2) és adott ponttól (gyújtópont focus: F) egyenlő távolságra vannak, parabolának nevezzük.
A parabola valamely P pontjának szerkesztése a definíczió alapján a következőként történik: A focusból a vezérvonalra bocsájtott FA' merőlegesen tetszésszerint felvett P'' pontban merőlegest állítunk FA'-re és az A'P''-vel, mint sugárral kört rajzolunk F körül. Az így nyert P1 és P2 metszéspontok pontjai a parabolának.
Bizonyítás: Ha a következőkben a sík bármely (pl. M) pontjából a V1V2 illetőleg az FA'-re bocsájtott merőleges talppontját M' illetőleg M''-mel jelöljük, akkor a nyert P1 és P2 pontok esetében P''1 és P''2 egybeesik P''-vel és
P1P1'=A'P''=FP1
és
P2P2'=A'P''=FP2.

Vagyis az I. definíczió alapján a P1 és P2 tényleg pontjai a parabolának.
I. tétel. A focusból a directrixre bocsájtott merőleges (A'F) tengelye a parabolának.
Bizonyítás: Az P1FP'' és a P3FP'' háromszögek egybevágóságából ugyanis következik, hogy:
P1P1''=P1P''=P2P''=P2P2''.
II. definíczió: Ha a focuson átmenő merőlegesen a parabola C1 és C2 pontja fekszik, akkor a
C1C2=2A'F=2p
távolságot a parabola paraméterének nevezzük.
Ha A az A'F felezéspontja, akkor a rajta átmenő merőlegesen a parabolának csak egy pontja van: A, mert az A'A sugarú F-ből rajzolt kör csak érinti a merőlegest.
 

 

III. definíczió. A focusból a directrixre bocsájtott merőleges távolság (A'F) felezéspontját, A-t a parabola csúcsának és az ezen pontban a tengelyre merőlegesen álló egyenest csúcsérintőnek nevezzük.
Az eddigiekből máris következik, hogy:
II. tétel. A parabola vezérvonala és csúcsérintője párhuzamosak, és
III. tétel. A parabola csúcsérintője felezi a focust a vezérvonal valamely pontjával összekötő távolságot.
Ha a P"-t az A-tól balra vesszük fel, akkor metszéspontot nem is kapunk már, mert
A'P"<FP".
A-tól jobbra pedig akármilyen messze is menjünk, mindig kapunk metszéspontot, tehát:
IV. tétel. A parabola csúcsérintőjének jobboldalán végtelenig elterjedő tehát nyílt, egyágú görbevonal.
IV. definíczió. Valamely P pontról akkor mondjuk, hogy a parabolán kívül vagy belül van, ha:
PP'PF.
V. tétel. Valamely egyenes akkor metszi a parabolát, ha találhatunk rajta oly P és Q pontokat, hogy:
PP'<PF(1)
és
QQ'>QF.(2)
Bizonyítás: Az (1) feltétel értelmében az egyenesnek van a parabolán kívül, a (2) értelmében pedig van a parabolán belül is pontja. A P-ből tehát csak úgy juthatunk Q-ba, ha egyszer a parabolán is áthaladtunk.
V. definiczió. Ha valamely húrt egyik végpontja körül addig forgatunk, míg a tengellyel párhuzamos nem lesz, akkor átmérőt kapunk.
VI. tétel. A parabola összes átmérői párhuzamosak.
I. feladat. Legyen adva a parabola focusa és direcrixe által. Szerkesszük meg a parabola és egy adott e egyenes metszéspontjait.
Ha a metszéspontok egyikét P-vel és az F-nek e-re vonatkoztatott tükörképét F'-tel jelölöm, akkor:
PF'=PF=PP1ésPP'V1V2.
A P tehát oly kör középpontja, a melynek FF' húrja és V1V2 érintője, tehát ha FF' a V1V2-t M-ben metszi, akkor :
MP'¯2=MFMF'
Az MP'-t megszerkesztvén, azt M-ből a directrixek mindkét oldalára rávihetjük, miáltal a P'1 és P'2 pontokat nyerjük. A P'1 és P'2-ben a V1V2-re állított merőlegesek az e-t a P1 és P2 keresett metszéspontokban találják.
Feladatunknak legfeljebb két megoldása lehet, tehát:
VII. tétel: A parabola másodrendű görbe.
VIII. tétel. Ha valamely egyenes olyan helyzetű, hogy a focusnak reá vonatkozó tükörképe a vezérvonal baloldalára esik, akkor az egyenes nem metszi a parabolát.
Bizonyítás. Ebben az esetben V1V2 vezérvonal metszené az FF' húrt, a mi lehetetlen.
Ha már most a P1P2-t a szilárd P1 körül a nyíl irányában forgatom, akkor P2 mindig közelebb jut P1-hez. Mi történik F'-tel?
A míg P2 a P1 alatt van, addig bármilyen közel is jussunk P1-hez, az F' a P1 középpontú P1F sugarú körön mindig P'1-n alul van. Ha pedig P2 a P1 fölött van, akkor bármilyen közel is feküdjék P1 -hez, az F' mégis a P'1-n felül van. Ha tehát P2 éppen P1-ben van, akkor F' és vele M is összeesik P'1-el, vagyis :
IX. tétel. A parabola focusúnak az érintőre vonatkozó tükörképének mértani helye a directrix.
Megfordítva: Ha F' a directrixen van, akkor MF'=0 tehát
MP'1=MP'2=0,
vagyis a metszéspontok egybeesnek.
X. tétel. A focusnak az érintőre vonatkozó projekcziójának mértani helye a csúcsérintő.
Bizonyítás. Ha a P1 pontban rajzolt érintő az FP1'-t R1 pontban metszi, akkor
P1P'1R1P1FR1
mert
P1F=P1P'1;P1R1=PR1  és  P1R1P'1=P1R1F=90
tehát
FR1=P'1R1
tehát a III. tétel értelmében R1 a csúcsérintőn fekszik. És minthogy még:
P'1P1R1=FP1R1=FP1P'12,  azért:

XI. tétel. A parabola érintője felezi az érintési ponthoz tartozó vezérsugár (FP1) és az átmérő által bezárt szög mellékszögét.
II. feladat. Rajzoljunk a parabola P1 pontjában érintőt.
Megoldás. P'1F messe a csúcsérintőt R1-ben, akkor P1R1 lesz az érintő. (VIII. és IX. tétel.)
Ha P2-ben is rajzolunk érintőt és a P1R1 és P2R2 érintők metszéspontját M1-gyel jelöljük, akkor:
M1P'1=M1F=M1P'2
Ezen tulajdonság alapján könnyen megoldható a következő feladat.
III. feladat. Valamely a parabolán kívül fekvő M1 pontból rajzoljunk érintőt a parabolához.
Megoldás: M1-ből az M1F sugárral rajzolt kör messe a V1V2-t és P'1 és P'2-ben, az FP'1 és az FP'2 pedig messék a csúcsérintőt R1 és R2-ben; akkor M1R1 és M2R2 lesznek a keresett érintők. Az érintési pontok (P1,P2) a P'1 és P'2-ben a V1V2-re emelt merőlegesek és az érintők metszéspontjai lesznek. Minthogy egy kör és egy egyenes legfeljebb 2 pontban metszhetik egymást, tehát következik, hogy:
XII.tétel. A parabola másodosztályú görbe.
XIII. tétel. Ha valamely M1 pontból megrajzoljuk az M1P1 és M1P2 érintőket, akkor az M1 ponton átmenő átmérő felezi a P1P2 érintési húrt N-ben és P1M1F=P2M1N.
Bizonyítás. (a) Messe az M1N a V1V2-t E-ben, akkor
EP'1=EP'2,
mert M1EP'1P'2 és M1P'1=M1P'2. Ha még tekintetbe vesszük azt is, hogy
P1P'1ENP2P'2,
akkor
P1N:P2N=P'1E:P'2E
vagyis
P1N=P2N.
(b)
M1P2P'2=FP'2P'1,
mert száraik merőlegesek egymásra.
Ámde az M1 középpontú M1F sugarú körben
FP'2P'1=FM1P'12=FM1P1
másrészt:
P2M1N=M1P2P'2,
tehát
P1M1F=P2M1N.
A X., XII. tétel és a III. feladat alapján könnyen megoldható a következő:
IV. feladat. Szerkesszük meg a parabola directrixét és focusát, ha ismerjük két érintőjét és rajtuk fekvő 2 érintési pontot.
XIV. tétel. A párhuzamos húrok felezéspontjainak mértani helye egy a húrokhoz konjugált átmérő.
Bizonyítás. Legyen P1P2 az egyik húr, akkor (I. feladat) M felezi a P'1P'2 távolságot, tehát az M-en átmenő átmérő felezi P1P2-t. S minthogy az összes P1P2-vel párhuzamos húrokra vonatkozólag M ugyanaz, tehát a tétel igaznak bizonyult.
XV. tétel. Valamely átmérő végpontjában rajzolt érintő párhuzamos az átmérőhöz konjugált húrokkal.