Kezdőlap


Cím:	A kúpszeletek elemi tulajdonságai (1. a parabola)
Szerző(k):	Antal Márkus
Füzet:	1900/december, 95 - 100. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. definíczió. Azt az egyenest, mely valamely görbét metsz, a görbe szelőjének, (secans) nevezzük.
II. definíczió. Ha valamely görbe $P_{1} P_{2}$ szelőjét a $P_{1}$ pont körül úgy forgatjuk, hogy $P_{2}$ folyton közeledik $P_{1}$ -hez, akkor a $P_{1} P_{2}$ szelőnek azt a határhelyzetét, a melyben $P_{2}$ a $P_{1}$ -gyel összeesik, érintőnek nevezzük. $P_{1}$ pedig az érintési pont.
III.definíczió. Valamely görbe $P_{1}$ és $P_{2}$ pontjait összekötő távolságokat húrnak nevezzük
IV. definíczió. Ha található oly egyenes, illetőleg pont, melyhez képest az adott görbe pontjai szimmetrikusan helyezkednek el, akkor azt a görbe tengelyének, illetőleg középpontjának $(o)$ nevezzük.
V. definíczió. Valamely görbe lehet véges vagy végtelen nagy és zárt vagy nyílt. A véges görbe pontjai egy meghatározott területen belül vannak, míg a végtelen görbének pontjai meghatározott terület belsejébe nem zárhatók. A zárt görbe oly véges görbevonal, a mely a síkból véges területet vág ki. Minden más görbét nyílt görbének nevezünk.
VI. definíczió. Valamely görbe lehet egy vagy többágú, a mint egy vagy több egymással össze nem függő részből áll.
VII. definíczió. Valamely görbét $n$ -ed rendűnek nevezünk, ha valamely egyenes azt legfeljebb $n$ pontban metszi és $n$ -ed osztályúnak, ha valamely pontból legfeljebb $n$ érintő húzható a görbéhez.
A következőkben oly görbéket fogunk tárgyalni, a melyek a kúpnak síkmetszeteinél jönnek létre,- miért is közös néven kúpszeleteknek nevezzük.
A kúpszeletek parabolák, ellipsisek vagy hyperbolák lehetnek. Legelőször a parabolával fogunk megismerkedni.

I. A parabola.

I. definíczió. A sík azon pontjainak mértani helyét, melyek adott egyenestől (vezérvonal, directrix:

V_{1} V_{2}

) és adott ponttól (gyújtópont focus:

F

) egyenlő távolságra vannak, parabolának nevezzük.
A parabola valamely

P

pontjának szerkesztése a definíczió alapján a következőként történik: A focusból a vezérvonalra bocsájtott

F A'

merőlegesen tetszésszerint felvett

P''

pontban merőlegest állítunk

F A'

-re és az

A' P''

-vel, mint sugárral kört rajzolunk

F

körül. Az így nyert

P_{1}

és

P_{2}

metszéspontok pontjai a parabolának.
Bizonyítás: Ha a következőkben a sík bármely (pl.

M

) pontjából a

V_{1} V_{2}

illetőleg az

F A'

-re bocsájtott merőleges talppontját

M'

illetőleg

M''

-mel jelöljük, akkor a nyert

P_{1}

és

P_{2}

pontok esetében

P''_{1}

és

P''_{2}

egybeesik

P''

-vel és

\begin{matrix} P_{1} P_{1}' = A' P'' = F P_{1} \end{matrix}

és

\begin{matrix} P_{2} P_{2}' = A' P'' = F P_{2} . \end{matrix}

Vagyis az I. definíczió alapján a

P_{1}

és

P_{2}

tényleg pontjai a parabolának.
I. tétel. A focusból a directrixre bocsájtott merőleges

(A' F)

tengelye a parabolának.
Bizonyítás: Az

P_{1} F P''

és a

P_{3} F P''

háromszögek egybevágóságából ugyanis következik, hogy:

\begin{matrix} P_{1} P_{1}'' = P_{1} P'' = P_{2} P'' = P_{2} P_{2}'' . \end{matrix}

II. definíczió: Ha a focuson átmenő merőlegesen a parabola

C_{1}

és

C_{2}

pontja fekszik, akkor a

\begin{matrix} C_{1} C_{2} = 2 A' F = 2 p \end{matrix}

távolságot a parabola paraméterének nevezzük.
Ha

A

A' F

felezéspontja, akkor a rajta átmenő merőlegesen a parabolának csak egy pontja van:

A

, mert az

A' A

sugarú

F

-ből rajzolt kör csak érinti a merőlegest.

III. definíczió. A focusból a directrixre bocsájtott merőleges távolság

(A' F)

felezéspontját,

A

-t a parabola csúcsának és az ezen pontban a tengelyre merőlegesen álló egyenest csúcsérintőnek nevezzük.
Az eddigiekből máris következik, hogy:
II. tétel. A parabola vezérvonala és csúcsérintője párhuzamosak, és
III. tétel. A parabola csúcsérintője felezi a focust a vezérvonal valamely pontjával összekötő távolságot.
Ha a

P "

-t az

A

-tól balra vesszük fel, akkor metszéspontot nem is kapunk már, mert

\begin{matrix} A' P " < F P " . \end{matrix}

A

-tól jobbra pedig akármilyen messze is menjünk, mindig kapunk metszéspontot, tehát:
IV. tétel. A parabola csúcsérintőjének jobboldalán végtelenig elterjedő tehát nyílt, egyágú görbevonal.
IV. definíczió. Valamely

P

pontról akkor mondjuk, hogy a parabolán kívül vagy belül van, ha:

\begin{matrix} P P' ≶ P F . \end{matrix}

V. tétel. Valamely egyenes akkor metszi a parabolát, ha találhatunk rajta oly

P

és

Q

pontokat, hogy:

\begin{matrix} P P' < P F \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} Q Q' > Q F . \end{matrix}

(2)

Bizonyítás: Az (1) feltétel értelmében az egyenesnek van a parabolán kívül, a (2) értelmében pedig van a parabolán belül is pontja. A

P

-ből tehát csak úgy juthatunk

Q

-ba, ha egyszer a parabolán is áthaladtunk.
V. definiczió. Ha valamely húrt egyik végpontja körül addig forgatunk, míg a tengellyel párhuzamos nem lesz, akkor átmérőt kapunk.
VI. tétel. A parabola összes átmérői párhuzamosak.
I. feladat. Legyen adva a parabola focusa és direcrixe által. Szerkesszük meg a parabola és egy adott

e

egyenes metszéspontjait.
Ha a metszéspontok egyikét

P

-vel és az

F

-nek

e

-re vonatkoztatott tükörképét

F'

-tel jelölöm, akkor:

\begin{matrix} P F' = P F = P P_{1} és P P' ⊥ V_{1} V_{2} . \end{matrix}

P

tehát oly kör középpontja, a melynek

F F'

húrja és

V_{1} V_{2}

érintője, tehát ha

F F

' a

V_{1} V_{2}

-t

M

-ben metszi, akkor :

\begin{matrix} {\bar{M P'}}^{2} = M F \cdot M F' \end{matrix}

M P'

-t megszerkesztvén, azt

M

-ből a directrixek mindkét oldalára rávihetjük, miáltal a

P'_{1}

és

P'_{2}

pontokat nyerjük. A

P'_{1}

és

P'_{2}

-ben a

V_{1} V_{2}

-re állított merőlegesek az

e

-t a

P_{1}

és

P_{2}

keresett metszéspontokban találják.
Feladatunknak legfeljebb két megoldása lehet, tehát:
VII. tétel: A parabola másodrendű görbe.
VIII. tétel. Ha valamely egyenes olyan helyzetű, hogy a focusnak reá vonatkozó tükörképe a vezérvonal baloldalára esik, akkor az egyenes nem metszi a parabolát.
Bizonyítás. Ebben az esetben

V_{1} V_{2}

vezérvonal metszené az

F F'

húrt, a mi lehetetlen.
Ha már most a

P_{1} P_{2}

-t a szilárd

P_{1}

körül a nyíl irányában forgatom, akkor

P_{2}

mindig közelebb jut

P_{1}

-hez. Mi történik

F'

-tel?
A míg

P_{2}

P_{1}

alatt van, addig bármilyen közel is jussunk

P_{1}

-hez, az

F'

P_{1}

középpontú

P_{1} F

sugarú körön mindig

P'_{1}

-n alul van. Ha pedig

P_{2}

P_{1}

fölött van, akkor bármilyen közel is feküdjék

P_{1}

-hez, az

F'

mégis a

P'_{1}

-n felül van. Ha tehát

P_{2}

éppen

P_{1}

-ben van, akkor

F'

és vele

M

is összeesik

P'_{1}

-el, vagyis :
IX. tétel. A parabola focusúnak az érintőre vonatkozó tükörképének mértani helye a directrix.
Megfordítva: Ha

F'

a directrixen van, akkor

M F' = 0

tehát

\begin{matrix} M P'_{1} = M P'_{2} = 0, \end{matrix}

vagyis a metszéspontok egybeesnek.
X. tétel. A focusnak az érintőre vonatkozó projekcziójának mértani helye a csúcsérintő.
Bizonyítás. Ha a

P_{1}

pontban rajzolt érintő az

F P_{1}'

-t

R_{1}

pontban metszi, akkor

\begin{matrix} P_{1} P'_{1} R_{1} ▵ ≅ P_{1} F R_{1} ▵ \end{matrix}

mert

\begin{matrix} P_{1} F = P_{1} P'_{1}; \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} F R_{1} = P'_{1} R_{1} \end{matrix}

tehát a III. tétel értelmében

R_{1}

a csúcsérintőn fekszik. És minthogy még:

\begin{matrix} P'_{1} P_{1} R_{1} ∢ = F P_{1} R_{1} ∢ = \frac{F P_{1} P'_{1} ∢}{2}, azért : \end{matrix}

XI. tétel. A parabola érintője felezi az érintési ponthoz tartozó vezérsugár

(F P_{1})

és az átmérő által bezárt szög mellékszögét.
II. feladat. Rajzoljunk a parabola

P_{1}

pontjában érintőt.
Megoldás.

P'_{1} F

messe a csúcsérintőt

R_{1}

-ben, akkor

P_{1} R_{1}

lesz az érintő. (VIII. és IX. tétel.)
Ha

P_{2}

-ben is rajzolunk érintőt és a

P_{1} R_{1}

és

P_{2} R_{2}

érintők metszéspontját

M_{1}

-gyel jelöljük, akkor:

\begin{matrix} M_{1} P'_{1} = M_{1} F = M_{1} P'_{2} \end{matrix}

Ezen tulajdonság alapján könnyen megoldható a következő feladat.
III. feladat. Valamely a parabolán kívül fekvő

M_{1}

pontból rajzoljunk érintőt a parabolához.
Megoldás:

M_{1}

-ből az

M_{1} F

sugárral rajzolt kör messe a

V_{1} V_{2}

-t és

P'_{1}

és

P'_{2}

-ben, az

F P'_{1}

és az

F P'_{2}

pedig messék a csúcsérintőt

R_{1}

és

R_{2}

-ben; akkor

M_{1} R_{1}

és

M_{2} R_{2}

lesznek a keresett érintők. Az érintési pontok

(P_{1}, P_{2})

P'_{1}

és

P'_{2}

-ben a

V_{1} V_{2}

-re emelt merőlegesek és az érintők metszéspontjai lesznek. Minthogy egy kör és egy egyenes legfeljebb 2 pontban metszhetik egymást, tehát következik, hogy:
XII.tétel. A parabola másodosztályú görbe.
XIII. tétel. Ha valamely

M_{1}

pontból megrajzoljuk az

M_{1} P_{1}

és

M_{1} P_{2}

érintőket, akkor az

M_{1}

ponton átmenő átmérő felezi a

P_{1} P_{2}

érintési húrt

N

-ben és

P_{1} M_{1} F ∢ = P_{2} M_{1} N ∢ .

Bizonyítás. (a) Messe az

M_{1} N

V_{1} V_{2}

-t

E

-ben, akkor

\begin{matrix} E P'_{1} = E P'_{2}, \end{matrix}

mert

M_{1} E ⊥ P'_{1} P'_{2}

és

M_{1} P'_{1} = M_{1} P'_{2}

. Ha még tekintetbe vesszük azt is, hogy

\begin{matrix} P_{1} P'_{1} ∥ E N ∥ P_{2} P'_{2}, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} P_{1} N : P_{2} N = P'_{1} E : P'_{2} E \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} P_{1} N = P_{2} N . \end{matrix}

(b)

\begin{matrix} M_{1} P_{2} P'_{2} ∢ = F P'_{2} P'_{1} ∢, \end{matrix}

mert száraik merőlegesek egymásra.
Ámde az

M_{1}

középpontú

M_{1} F

sugarú körben

\begin{matrix} F P'_{2} P'_{1} ∢ = \frac{F M_{1} P'_{1} ∢}{2} = F M_{1} P_{1} ∢ \end{matrix}

másrészt:

\begin{matrix} P_{2} M_{1} N ∢ = M_{1} P_{2} P'_{2} ∢, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} P_{1} M_{1} F ∢ = P_{2} M_{1} N ∢ . \end{matrix}

A X., XII. tétel és a III. feladat alapján könnyen megoldható a következő:
IV. feladat. Szerkesszük meg a parabola directrixét és focusát, ha ismerjük két érintőjét és rajtuk fekvő 2 érintési pontot.
XIV. tétel. A párhuzamos húrok felezéspontjainak mértani helye egy a húrokhoz konjugált átmérő.
Bizonyítás. Legyen

P_{1} P_{2}

az egyik húr, akkor (I. feladat)

M

felezi a

P'_{1} P'_{2}

távolságot, tehát az

M

-en átmenő átmérő felezi

P_{1} P_{2}

-t. S minthogy az összes

P_{1} P_{2}

-vel párhuzamos húrokra vonatkozólag

M

ugyanaz, tehát a tétel igaznak bizonyult.
XV. tétel. Valamely átmérő végpontjában rajzolt érintő párhuzamos az átmérőhöz konjugált húrokkal.