A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. definíczió. Azt az egyenest, mely valamely görbét metsz, a görbe szelőjének, (secans) nevezzük. II. definíczió. Ha valamely görbe szelőjét a pont körül úgy forgatjuk, hogy folyton közeledik -hez, akkor a szelőnek azt a határhelyzetét, a melyben a -gyel összeesik, érintőnek nevezzük. pedig az érintési pont. III.definíczió. Valamely görbe és pontjait összekötő távolságokat húrnak nevezzük IV. definíczió. Ha található oly egyenes, illetőleg pont, melyhez képest az adott görbe pontjai szimmetrikusan helyezkednek el, akkor azt a görbe tengelyének, illetőleg középpontjának nevezzük. V. definíczió. Valamely görbe lehet véges vagy végtelen nagy és zárt vagy nyílt. A véges görbe pontjai egy meghatározott területen belül vannak, míg a végtelen görbének pontjai meghatározott terület belsejébe nem zárhatók. A zárt görbe oly véges görbevonal, a mely a síkból véges területet vág ki. Minden más görbét nyílt görbének nevezünk. VI. definíczió. Valamely görbe lehet egy vagy többágú, a mint egy vagy több egymással össze nem függő részből áll. VII. definíczió. Valamely görbét -ed rendűnek nevezünk, ha valamely egyenes azt legfeljebb pontban metszi és -ed osztályúnak, ha valamely pontból legfeljebb érintő húzható a görbéhez. A következőkben oly görbéket fogunk tárgyalni, a melyek a kúpnak síkmetszeteinél jönnek létre,- miért is közös néven kúpszeleteknek nevezzük. A kúpszeletek parabolák, ellipsisek vagy hyperbolák lehetnek. Legelőször a parabolával fogunk megismerkedni.
I. A parabola. I. definíczió. A sík azon pontjainak mértani helyét, melyek adott egyenestől (vezérvonal, directrix: ) és adott ponttól (gyújtópont focus: ) egyenlő távolságra vannak, parabolának nevezzük. A parabola valamely pontjának szerkesztése a definíczió alapján a következőként történik: A focusból a vezérvonalra bocsájtott merőlegesen tetszésszerint felvett pontban merőlegest állítunk -re és az -vel, mint sugárral kört rajzolunk körül. Az így nyert és metszéspontok pontjai a parabolának. Bizonyítás: Ha a következőkben a sík bármely (pl. ) pontjából a illetőleg az -re bocsájtott merőleges talppontját illetőleg -mel jelöljük, akkor a nyert és pontok esetében és egybeesik -vel és és Vagyis az I. definíczió alapján a és tényleg pontjai a parabolának. I. tétel. A focusból a directrixre bocsájtott merőleges tengelye a parabolának. Bizonyítás: Az és a háromszögek egybevágóságából ugyanis következik, hogy: | | II. definíczió: Ha a focuson átmenő merőlegesen a parabola és pontja fekszik, akkor a távolságot a parabola paraméterének nevezzük. Ha az felezéspontja, akkor a rajta átmenő merőlegesen a parabolának csak egy pontja van: , mert az sugarú -ből rajzolt kör csak érinti a merőlegest.
III. definíczió. A focusból a directrixre bocsájtott merőleges távolság felezéspontját, -t a parabola csúcsának és az ezen pontban a tengelyre merőlegesen álló egyenest csúcsérintőnek nevezzük. Az eddigiekből máris következik, hogy: II. tétel. A parabola vezérvonala és csúcsérintője párhuzamosak, és III. tétel. A parabola csúcsérintője felezi a focust a vezérvonal valamely pontjával összekötő távolságot. Ha a -t az -tól balra vesszük fel, akkor metszéspontot nem is kapunk már, mert -tól jobbra pedig akármilyen messze is menjünk, mindig kapunk metszéspontot, tehát: IV. tétel. A parabola csúcsérintőjének jobboldalán végtelenig elterjedő tehát nyílt, egyágú görbevonal. IV. definíczió. Valamely pontról akkor mondjuk, hogy a parabolán kívül vagy belül van, ha: V. tétel. Valamely egyenes akkor metszi a parabolát, ha találhatunk rajta oly és pontokat, hogy: és Bizonyítás: Az (1) feltétel értelmében az egyenesnek van a parabolán kívül, a (2) értelmében pedig van a parabolán belül is pontja. A -ből tehát csak úgy juthatunk -ba, ha egyszer a parabolán is áthaladtunk. V. definiczió. Ha valamely húrt egyik végpontja körül addig forgatunk, míg a tengellyel párhuzamos nem lesz, akkor átmérőt kapunk. VI. tétel. A parabola összes átmérői párhuzamosak. I. feladat. Legyen adva a parabola focusa és direcrixe által. Szerkesszük meg a parabola és egy adott egyenes metszéspontjait. Ha a metszéspontok egyikét -vel és az -nek -re vonatkoztatott tükörképét -tel jelölöm, akkor: A tehát oly kör középpontja, a melynek húrja és érintője, tehát ha ' a -t -ben metszi, akkor : Az -t megszerkesztvén, azt -ből a directrixek mindkét oldalára rávihetjük, miáltal a és pontokat nyerjük. A és -ben a -re állított merőlegesek az -t a és keresett metszéspontokban találják. Feladatunknak legfeljebb két megoldása lehet, tehát: VII. tétel: A parabola másodrendű görbe. VIII. tétel. Ha valamely egyenes olyan helyzetű, hogy a focusnak reá vonatkozó tükörképe a vezérvonal baloldalára esik, akkor az egyenes nem metszi a parabolát. Bizonyítás. Ebben az esetben vezérvonal metszené az húrt, a mi lehetetlen. Ha már most a -t a szilárd körül a nyíl irányában forgatom, akkor mindig közelebb jut -hez. Mi történik -tel? A míg a alatt van, addig bármilyen közel is jussunk -hez, az a középpontú sugarú körön mindig -n alul van. Ha pedig a fölött van, akkor bármilyen közel is feküdjék -hez, az mégis a -n felül van. Ha tehát éppen -ben van, akkor és vele is összeesik -el, vagyis : IX. tétel. A parabola focusúnak az érintőre vonatkozó tükörképének mértani helye a directrix. Megfordítva: Ha a directrixen van, akkor tehát vagyis a metszéspontok egybeesnek. X. tétel. A focusnak az érintőre vonatkozó projekcziójának mértani helye a csúcsérintő. Bizonyítás. Ha a pontban rajzolt érintő az -t pontban metszi, akkor mert | | tehát tehát a III. tétel értelmében a csúcsérintőn fekszik. És minthogy még: | |
XI. tétel. A parabola érintője felezi az érintési ponthoz tartozó vezérsugár és az átmérő által bezárt szög mellékszögét. II. feladat. Rajzoljunk a parabola pontjában érintőt. Megoldás. messe a csúcsérintőt -ben, akkor lesz az érintő. (VIII. és IX. tétel.) Ha -ben is rajzolunk érintőt és a és érintők metszéspontját -gyel jelöljük, akkor: Ezen tulajdonság alapján könnyen megoldható a következő feladat. III. feladat. Valamely a parabolán kívül fekvő pontból rajzoljunk érintőt a parabolához. Megoldás: -ből az sugárral rajzolt kör messe a -t és és -ben, az és az pedig messék a csúcsérintőt és -ben; akkor és lesznek a keresett érintők. Az érintési pontok a és -ben a -re emelt merőlegesek és az érintők metszéspontjai lesznek. Minthogy egy kör és egy egyenes legfeljebb 2 pontban metszhetik egymást, tehát következik, hogy: XII.tétel. A parabola másodosztályú görbe. XIII. tétel. Ha valamely pontból megrajzoljuk az és érintőket, akkor az ponton átmenő átmérő felezi a érintési húrt -ben és Bizonyítás. (a) Messe az a -t -ben, akkor mert és . Ha még tekintetbe vesszük azt is, hogy akkor vagyis (b) mert száraik merőlegesek egymásra. Ámde az középpontú sugarú körben másrészt: tehát A X., XII. tétel és a III. feladat alapján könnyen megoldható a következő: IV. feladat. Szerkesszük meg a parabola directrixét és focusát, ha ismerjük két érintőjét és rajtuk fekvő 2 érintési pontot. XIV. tétel. A párhuzamos húrok felezéspontjainak mértani helye egy a húrokhoz konjugált átmérő. Bizonyítás. Legyen az egyik húr, akkor (I. feladat) felezi a távolságot, tehát az -en átmenő átmérő felezi -t. S minthogy az összes -vel párhuzamos húrokra vonatkozólag ugyanaz, tehát a tétel igaznak bizonyult. XV. tétel. Valamely átmérő végpontjában rajzolt érintő párhuzamos az átmérőhöz konjugált húrokkal.
|