Cím: Az egész számok két tulajdonságáról
Szerző(k):  dr. Anderkó Aurél 
Füzet: 1901/április, 210 - 212. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Induljunk ki a következő geometriai sorból

qn+qn-1+qn-2+...+q2+q=qqn-1q-1.
Osszuk az egyenlőség baloldalát (q-r)-rel, akkor
[qn+qn-1+qn-2+...+q2+q]:(q-r)=qn-1+(r+1)qn-2+
+(r2+r+1)qn-3+...+(rn-2+rn-3+...+r+1)q+
+(rn-1+rn-2+...+r+1)+rn+rn-1+...+r2+rq-r.
Ebből, ha mind a két oldalt (q-r)-rel szorozzuk és az egyenlőség oldalait felcseréljük, akkor
[qn-1+(r+1)qn-2+r3-1r-1qn-3+...+rn-1-1r-1q+rn-1r-1](q-r)+
+rrn-1q-1=qqn-1q-1.

Legyen q=10 és r=1, akkor ezen sorból nyerjük, hogy
[10n-1+210n-2+310n-3+...+(n-1)10+n]9+n=1010n-19.

Megjegyezvén, hogy [rn-1r-1]r=1=n.
Ha most az egyenlőség mindkét oldalához +1-et adunk, akkor az n bármilyen positív egész szám értéke mellett, a jobboldali számnak valamennyi jegye 1 lesz, vagyis
[10n-1210n-2+310n-3+...+(n-1)10+n]9+(n+1)=1010n-19+1.
Írjunk e sorba n helyébe egymásután 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...-et, ekkor nyerjük a következő táblázatot:
 

  09+1=1  19+2=11  129+3=111  1239+4=1111  12349+5=11111  123459+6=111111  1234569+7=1111111  123454679+8=11111111  1234546789+9=111111111  12345467899+10=1111111111  ──‐  123454679009+11=11111111111......
 

II. Legyen adva a következő két sor
qn+qn-1+qn-2+...+q2+q
és
-qn-1-2qn-2-3qn-3-...-(n-2)q2-(n-1)q.

Képezzük e két sor összegét és az összeget osszuk el q-r-rel, akkor
[qn-qn-2-2qn-3-...-(n-3)q2-(n-2)q]:(q-r)=
=qn-1+rqn-2+(r2-1)qn-3+(r3-r-2)qn-4+...
+...+(rn-2-rn-4-2rn-5-...-(n-3))q+
+(rn-1-rn-3-2rn-4)-...-(n-2)+rn-rn-2-2rn-3...-(n-2)rq-r.

Ebből, ha mind a két oldalt (q-r)-rel szorozzuk és az egyenlőség oldalait felcseréljük, akkor
[qn-1+rqn-2+(r2-1)qn-3+(r3-r-2)qn-4+...+

+rn-2-rn-4-...-(n-3))q+(rn-1-rn-3-2rn-4-...-(n-2))(q-r)+

+(rn-rn-2-2rn-2-...-(n-2)r)=qn-qn-2-2qn-3-...-(n-2)q.
Legyen most q=10 és r=2, akkor
[10n-1+210n-2+310n-3+410n-4+...+(n-1)10+n]8+2n=
=10n-10n-2-210n-3-...-(n-2)10.

Az egyenlőség mindkét oldalához -n-et adván, lesz
[10n-1+210n-2+310n-3+410n-4+...+(n-1)10+n]8+n=
=10n-10n-2-210n-3-...-(n-2)10-n.
Írjunk e sorban n helyébe egymásután 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...-et, ekkor nyerjük a következő táblázatot:
 

  18+1=9  128+2=98  1238+3=987  12348+4=9876  123458+5=98765  1234568+6=987654  12345678+7=9876543  1234546788+8=98765432  12345467898+9=987654321  ──‐  123454679008+10=9876543210......