Kezdőlap


Cím:	Az egész számok két tulajdonságáról
Szerző(k):	dr. Anderkó Aurél
Füzet:	1901/április, 210 - 212. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Induljunk ki a következő geometriai sorból

\begin{matrix} q^{n} + q^{n - 1} + q^{n - 2} + ... + q^{2} + q = q \frac{q^{n} - 1}{q - 1} . \end{matrix}

Osszuk az egyenlőség baloldalát

(q - r)

-rel, akkor

\begin{matrix} [q^{n} + q^{n - 1} + q^{n - 2} + ... + q^{2} + q] : (q - r) = q^{n - 1} + (r + 1) q^{n - 2} + \end{matrix}

\begin{matrix} + (r^{2} + r + 1) q^{n - 3} + ... + (r^{n - 2} + r^{n - 3} + ... + r + 1) q + \end{matrix}

\begin{matrix} + (r^{n - 1} + r^{n - 2} + ... + r + 1) + \frac{r^{n} + r^{n - 1} + ... + r^{2} + r}{q - r} . \end{matrix}

Ebből, ha mind a két oldalt

(q - r)

-rel szorozzuk és az egyenlőség oldalait felcseréljük, akkor

\begin{matrix} [q^{n - 1} + (r + 1) q^{n - 2} + \frac{r^{3} - 1}{r - 1} q^{n - 3} + ... + \frac{r^{n - 1} - 1}{r - 1} \cdot q + \frac{r^{n} - 1}{r - 1}] (q - r) + \end{matrix}

\begin{matrix} + r \frac{r^{n} - 1}{q - 1} = q \frac{q^{n} - 1}{q - 1} . \end{matrix}

Legyen

q = 10

és

r = 1

, akkor ezen sorból nyerjük, hogy

\begin{matrix} [10^{n - 1} + 2 \cdot 10^{n - 2} + 3 \cdot 10^{n - 3} + ... + (n - 1) 10 + n] \cdot 9 + n = 10 \cdot \frac{10^{n} - 1}{9} . \end{matrix}

Megjegyezvén, hogy

{[\frac{r^{n} - 1}{r - 1}]}_{r = 1} = n

.
Ha most az egyenlőség mindkét oldalához

+ 1

-et adunk, akkor az

n

bármilyen positív egész szám értéke mellett, a jobboldali számnak valamennyi jegye

1

lesz, vagyis

\begin{matrix} [10^{n - 1} 2 \cdot 10^{n - 2} + 3 \cdot 10^{n - 3} + ... + (n - 1) 10 + n] \cdot 9 + (n + 1) = 10 \cdot \frac{10^{n} - 1}{9} + 1. \end{matrix}

Írjunk e sorba

n

helyébe egymásután

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...

-et, ekkor nyerjük a következő táblázatot:

\begin{matrix} 0\cdot9 & + & 1 & = & 1 \\ 1\cdot9 & + & 2 & = & 11 \\ 12\cdot9 & + & 3 & = & 111 \\ 123\cdot9 & + & 4 & = & 1111 \\ 1234\cdot9 & + & 5 & = & 11111 \\ 12345\cdot9 & + & 6 & = & 111111 \\ 123456\cdot9 & + & 7 & = & 1111111 \\ 12345467\cdot9 & + & 8 & = & 11111111 \\ 123454678\cdot9 & + & 9 & = & 111111111 \\ 1234546789\cdot9 & + & 10 & = & 1111111111 \\ ──‐ \\ 12345467900\cdot9 & + & 11 & = & 11111111111 \\ ... \\ ... \end{matrix}

II. Legyen adva a következő két sor

\begin{matrix} q^{n} + q^{n - 1} + q^{n - 2} + ... + q^{2} + q \end{matrix}

és

\begin{matrix} - q^{n - 1} - 2 q^{n - 2} - 3 \cdot q^{n - 3} - ... - (n - 2) q^{2} - (n - 1) q . \end{matrix}

Képezzük e két sor összegét és az összeget osszuk el

q - r

-rel, akkor

\begin{matrix} [q^{n} - q^{n - 2} - 2 q^{n - 3} - ... - (n - 3) q^{2} - (n - 2) q] : (q - r) = \end{matrix}

\begin{matrix} = q^{n - 1} + r q^{n - 2} + (r^{2} - 1) q^{n - 3} + (r^{3} - r - 2) q^{n - 4} + ... \end{matrix}

\begin{matrix} + ... + (r^{n - 2} - r^{n - 4} - 2 r^{n - 5} - ... - (n - 3)) q + \end{matrix}

\begin{matrix} + (r^{n - 1} - r^{n - 3} - 2 r^{n - 4}) - ... - (n - 2) + \frac{r^{n} - r^{n - 2} - 2 r^{n - 3} ... - (n - 2) r}{q - r} . \end{matrix}

Ebből, ha mind a két oldalt

(q - r)

-rel szorozzuk és az egyenlőség oldalait felcseréljük, akkor

\begin{matrix} [q^{n - 1} + r q^{n - 2} + (r^{2} - 1) q^{n - 3} + (r^{3} - r - 2) q^{n - 4} + ... + \end{matrix}

\begin{matrix} + r^{n - 2} - r^{n - 4} - ... - (n - 3)) q + (r^{n - 1} - r^{n - 3} - 2 r^{n - 4} - ... - (n - 2)) (q - r) + \end{matrix}

\begin{matrix} + (r^{n} - r^{n - 2} - 2 r^{n - 2} - ... - (n - 2) r) = q^{n} - q^{n - 2} - 2 q^{n - 3} - ... - (n - 2) q . \end{matrix}

Legyen most

q = 10

és

r = 2

, akkor

\begin{matrix} [10^{n - 1} + 2 \cdot 10^{n - 2} + 3 \cdot 10^{n - 3} + 4 \cdot 10^{n - 4} + ... + (n - 1) 10 + n] \cdot 8 + 2 n = \end{matrix}

\begin{matrix} = 10^{n} - 10^{n - 2} - 2 \cdot 10^{n - 3} - ... - (n - 2) \cdot 10. \end{matrix}

Az egyenlőség mindkét oldalához

- n

-et adván, lesz

\begin{matrix} [10^{n - 1} + 2 \cdot 10^{n - 2} + 3 \cdot 10^{n - 3} + 4 \cdot 10^{n - 4} + ... + (n - 1) 10 + n] \cdot 8 + n = \end{matrix}

\begin{matrix} = 10^{n} - 10^{n - 2} - 2 \cdot 10^{n - 3} - ... - (n - 2) 10 - n . \end{matrix}

Írjunk e sorban

n

helyébe egymásután

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...

-et, ekkor nyerjük a következő táblázatot:

\begin{matrix} 1\cdot8 & + & 1 & = & 9 \\ 12\cdot8 & + & 2 & = & 98 \\ 123\cdot8 & + & 3 & = & 987 \\ 1234\cdot8 & + & 4 & = & 9876 \\ 12345\cdot8 & + & 5 & = & 98765 \\ 123456\cdot8 & + & 6 & = & 987654 \\ 1234567\cdot8 & + & 7 & = & 9876543 \\ 123454678\cdot8 & + & 8 & = & 98765432 \\ 1234546789\cdot8 & + & 9 & = & 987654321 \\ ──‐ \\ 12345467900\cdot8 & + & 10 & = & 9876543210 \\ ... \\ ... \end{matrix}