Cím: A tetraeder köré írható gömb sugarának meghatározása 2.
Szerző(k):  Maksay Zsigmond 
Füzet: 1896/február, 92. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Második közlemény.

A következőkben a tetraäder köré írható gömb sugarát egy csúcsában összefutó három él s az általuk alkotott testszöglet elemeivel fogjuk kifejezni.
E végből legyenek az S csúcsban összefutó élek hosszúságának mértékszámai:
 
SA¯=a,SB¯=b,SC¯=c;
az élek mellett fekvő lapszögek:
A,B,C
s a velük szembenfekvő élszögek:
α,β,γ.
Fektessünk az élek szabad végpontjaiban rájok merőleges síkokat. E síkok kivágják a megfelelő lapszögeket s egy pontban a körülírható gömbnek S-sel diametralis pontja és SS¯'=2r a gömb keresett átmérője.
Az S' pontban találkozó síkok páronként oly egyenesekben vágják egymást, melyek a tetraäder megfelelő határlapjára merőlegesek. E merőlegesek talppontjai az illető határlapok köré írható köröknek S-sel diametralis pontjai. Legyenek e pontok Sα,Sβ,Sγ.
Múlt alkalommal e tárgyra vonatkozó közleményemben kimutattam, hogy az SS'γASβ stb. alakú négyszögekben, mint amelyekben két szemben fekvő szög derékszög áll:
SβSγ¯=S'A¯sinA,SγSα¯=S'B¯sinB,SαSβ¯=S'C¯sinC.(1)

Ámde az SASγB stb. négyszögek szintén oly természetűek, hogy:
AB¯=SSγ¯sinγ,BC=SSα¯sinα,CA¯=SSβ¯sinβ(2)

Másfelől azonban:
SβSγ¯2=ASγ¯2+ASβ¯2-2ASγ¯ASβ¯cosA(3)

míg:
ASγ¯=b-acosγsinγ,ASbeta¯=c-acosβsinβ
úgy hogy:
SβSγ¯2=(b-acosγsinγ)2+(c-acosβsinβ)2-2b-acosγsinγc-acosβsinβcosA
mely értéknek az (1) egyenlőségnek elsejébe helyettezésével:
SA¯2=(b-acosγ)2sin2β+(c-acosβ)2sin2γ-2(b-acosγ)(c-acosβ)sinβsinγcosAsin2Asin2βsin2γ(1a.)
Ennek felhasználásával az SS'A háromszögből:
4r2=a2sin2Asin2βsin2γ+(b-acosγ)2sin2β+(c-acosβ)2sin2γ-2(b-acosγ)(c-acosβ)sinβsinγcosAsin2Asin2βsin2γ
Ha az egyenlőségben a jobb oldal számlálóját a gömháromszögtan megfelelő alapképlete segítségével kellően átalakítjuk, lesz:
4r2=a2sin2α+b2sin2β+c2sin2γ-2absinαsinβcosC-2acsinαsinγcosB-2bcsinβsinγcosAsin2Asin2βsin2γ(4)
Ez az eredményszámítás czéljából még így is alakítható:
4r2=(asinα+bsinβ+csinγ)2-4sins[absin(s-γ)+acsin(s-β)+bcsin(s-α)]4sinssin(s-α)sin(s-β)sin(s-γ)
hol s=α+β+γ2 stb. ismert rövid jelzések.
Ha a képletbe a tetraäder köbtartalmát be akarjuk vinni, a (4) egyenlőségnek számlálóját és nevezőjét a2b2c2-vel sokszorozzuk s tekintetbe véve, hogy akkor:
bcsinα=2tα,acsinβ=2tβ,absinγ=2tγ,míg:
a2b2c2sin2Asin2Bsin2γ=36v2,
azaz: a tetraäder 6-szoros köbtartalmának négyzete, a képlet így alakul:
4r2=a4tα2+b4tβ2+c4tγ2-2a2b2tαtβcosC-2a2c2tαtγcosB-2b2c2tβtγcosA9v2

Ha az (1) képletbe az él és lapszögek helyett a tetraäder éleit visszük be, az a,b,c-vel szemben fekvőket a',b',c'-tel jelölvén, tekintve, hogy
cosα=b2+c2-a'22bc,cosβ=a2+c2-b'22ac,cosγ=a2+b2-c'22ab,
tehát:
sin2α=4b2c2-(b2+c2-a'2)24b2c2
stb. és
sinαsinβcosC=cosγ-cosαcosβ
stb., a kellő összevonások után:
4r2=2a2b2a'2b'2+2a2c2a'2c'2+2b2c2b'2c'2-a4a'4-b4b'4-c4c'44a2b2c2sin2βsin2γsin2A
Ebben a kifejezésben a számláló:
4b2c2b'2c'2-(b2b'2+c2c'2-a2a'2)2
alakban írható, mely tényezőkre bontva:
(a'a+bb'+cc')(-aa'+bb'+cc')(aa'-bb'+cc')(aa'+bb'-cc')
alakot ölt, míg a nevező a köbtartalom tizenkétszeresének négyzete úgy, hogy végeredményben:
4r2=(a'a+bb'+cc')(-aa'+bb'+cc')(aa'-bb'+cc')(aa'+bb'-cc')(12V)2
A számláló a szemben fekvő élekből alkotható derékszögű parallelogrammák területeiből alakult 8-ad rendű térmennyiség s tekinthető oly háromszög területe 16-szoros négyzetének is, melyben az oldalak mértékszámai aa',bb',cc'.
E képletek inkább érdekes voltuknál fogva s gyakorlat czéljából érdemelnek figyelmet, mert számításra a múlt alkalommal kifejtett alak határozottan használhatóbb.