Kezdőlap


Cím:	A tetraeder köré írható gömb sugarának meghatározása 2.
Szerző(k):	Maksay Zsigmond
Füzet:	1896/február, 92. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Második közlemény.

A következőkben a tetraäder köré írható gömb sugarát egy csúcsában összefutó három él s az általuk alkotott testszöglet elemeivel fogjuk kifejezni.
E végből legyenek az

S

csúcsban összefutó élek hosszúságának mértékszámai:

\begin{matrix} \bar{S A} = a, \bar{S B} = b, \bar{S C} = c; \end{matrix}

az élek mellett fekvő lapszögek:

\begin{matrix} A, B, C \end{matrix}

s a velük szembenfekvő élszögek:

\begin{matrix} α, β, γ . \end{matrix}

Fektessünk az élek szabad végpontjaiban rájok merőleges síkokat. E síkok kivágják a megfelelő lapszögeket s egy pontban a körülírható gömbnek

S

-sel diametralis pontja és

\bar{S S}' = 2 r

a gömb keresett átmérője.
Az

S'

pontban találkozó síkok páronként oly egyenesekben vágják egymást, melyek a tetraäder megfelelő határlapjára merőlegesek. E merőlegesek talppontjai az illető határlapok köré írható köröknek

S

-sel diametralis pontjai. Legyenek e pontok

S_{α}, S_{β}, S_{γ}

.
Múlt alkalommal e tárgyra vonatkozó közleményemben kimutattam, hogy az

S S'_{γ} A S_{β}

stb. alakú négyszögekben, mint amelyekben két szemben fekvő szög derékszög áll:

\begin{matrix} \bar{S_{β} S_{γ}} = \bar{S' A} sin A, \bar{S_{γ} S_{α}} = \bar{S' B} sin B, \bar{S_{α} S_{β}} = \bar{S' C} sin C . \end{matrix}

(1)

Ámde az

S A S_{γ} B

stb. négyszögek szintén oly természetűek, hogy:

\begin{matrix} \bar{A B} = \bar{S S_{γ}} sin γ, B C = \bar{S S_{α}} sin α, \bar{C A} = \bar{S S_{β}} sin β \end{matrix}

(2)

Másfelől azonban:

\begin{matrix} {\bar{S_{β} S_{γ}}}^{2} = {\bar{A S_{γ}}}^{2} + {\bar{A S_{β}}}^{2} - 2 \bar{A S_{γ}} \cdot \bar{A S_{β}} \cdot cos A \end{matrix}

(3)

míg:

\begin{matrix} \bar{A S_{γ}} = \frac{b - a cos γ}{sin γ}, \bar{A S_{b} e t a} = \frac{c - a cos β}{sin β} \end{matrix}

úgy hogy:

\begin{matrix} {\bar{S_{β} S_{γ}}}^{2} = {(\frac{b - a cos γ}{sin γ})}^{2} + {(\frac{c - a cos β}{sin β})}^{2} - 2 \cdot \frac{b - a cos γ}{sin γ} \frac{c - a cos β}{sin β} cos A \end{matrix}

mely értéknek az (1) egyenlőségnek elsejébe helyettezésével:

\begin{matrix} {\bar{S A}}^{2} = \frac{{(b - a cos γ)}^{2} sin^{2} β + {(c - a cos β)}^{2} sin^{2} γ - 2 (b - a cos γ) (c - a cos β) sin β sin γ cos A}{sin^{2} A sin^{2} β sin^{2} γ} \end{matrix}

(1a.)

Ennek felhasználásával az

S S' A

háromszögből:

\begin{matrix} 4 r^{2} = \frac{a^{2} sin^{2} A sin^{2} β sin^{2} γ + {(b - a cos γ)}^{2} sin^{2} β + {(c - a cos β)}^{2} sin^{2} γ - 2 (b - a cos γ) (c - a cos β) sin β sin γ cos A}{sin^{2} A sin^{2} β sin^{2} γ} \end{matrix}

Ha az egyenlőségben a jobb oldal számlálóját a gömháromszögtan megfelelő alapképlete segítségével kellően átalakítjuk, lesz:

\begin{matrix} 4 r^{2} = a^{2} sin^{2} α + b^{2} sin^{2} β + c^{2} sin^{2} γ - 2 a b \end{matrix}

(4)

Ez az eredményszámítás czéljából még így is alakítható:

\begin{matrix} 4 r^{2} = \frac{{(a sin α + b sin β + c sin γ)}^{2} - 4 sin s [a b sin (s - γ) + a c sin (s - β) + b c sin (s - α)]}{4 sin s sin (s - α) sin (s - β) sin (s - γ)} \end{matrix}

hol

s = \frac{α + β + γ}{2}

stb. ismert rövid jelzések.
Ha a képletbe a tetraäder köbtartalmát be akarjuk vinni, a (4) egyenlőségnek számlálóját és nevezőjét

a^{2} b^{2} c^{2}

-vel sokszorozzuk s tekintetbe véve, hogy akkor:

\begin{matrix} b c sin α = 2 t_{α}, a c sin β = 2 t_{β}, a b sin γ = 2 t_{γ}, míg: \end{matrix}

\begin{matrix} a^{2} b^{2} c^{2} sin^{2} A \end{matrix}

azaz: a tetraäder 6-szoros köbtartalmának négyzete, a képlet így alakul:

\begin{matrix} 4 r^{2} = \frac{a^{4} t_{α}^{2} + b^{4} t_{β}^{2} + c^{4} t_{γ}^{2} - 2 a^{2} b^{2} t_{α} t_{β} cos C - 2 a^{2} c^{2} t_{α} t_{γ} cos B - 2 b^{2} c^{2} t_{β} t_{γ} cos A}{9 v^{2}} \end{matrix}

Ha az (1) képletbe az él és lapszögek helyett a tetraäder éleit visszük be, az

a, b, c

-vel szemben fekvőket

a', b', c'

-tel jelölvén, tekintve, hogy

\begin{matrix} cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a'^{2}}{2 b c}, cos β = \frac{a^{2} + c^{2} - b'^{2}}{2 a c}, cos γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c'^{2}}{2 a b}, \end{matrix}

tehát:

\begin{matrix} sin^{2} α = \frac{4 b^{2} c^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a'^{2})}^{2}}{4 b^{2} c^{2}} \end{matrix}

stb. és

\begin{matrix} sin α \cdot sin β \cdot cos C = cos γ - cos α \cdot cos β \end{matrix}

stb., a kellő összevonások után:

\begin{matrix} 4 r^{2} = \frac{2 a^{2} b^{2} a'^{2} b'^{2} + 2 a^{2} c^{2} a'^{2} c'^{2} + 2 b^{2} c^{2} b'^{2} c'^{2} - a^{4} a'^{4} - b^{4} b'^{4} - c^{4} c'^{4}}{4 a^{2} b^{2} c^{2} sin^{2} β sin^{2} γ sin^{2} A} \end{matrix}

Ebben a kifejezésben a számláló:

\begin{matrix} 4 b^{2} c^{2} b'^{2} c'^{2} - {(b^{2} b'^{2} + c^{2} c'^{2} - a^{2} a'^{2})}^{2} \end{matrix}

alakban írható, mely tényezőkre bontva:

\begin{matrix} (a' a + b b' + c c') (- a a' + b b' + c c') (a a' - b b' + c c') (a a' + b b' - c c') \end{matrix}

alakot ölt, míg a nevező a köbtartalom tizenkétszeresének négyzete úgy, hogy végeredményben:

\begin{matrix} 4 r^{2} = \frac{(a' a + b b' + c c') (- a a' + b b' + c c') (a a' - b b' + c c') (a a' + b b' - c c')}{{(12 V)}^{2}} \end{matrix}

A számláló a szemben fekvő élekből alkotható derékszögű parallelogrammák területeiből alakult 8-ad rendű térmennyiség s tekinthető oly háromszög területe 16-szoros négyzetének is, melyben az oldalak mértékszámai

a a', b b', c c'

.
E képletek inkább érdekes voltuknál fogva s gyakorlat czéljából érdemelnek figyelmet, mert számításra a múlt alkalommal kifejtett alak határozottan használhatóbb.