Cím: A tetraeder köré írható gömb sugarának meghatározása 1.
Szerző(k):  Maksay Zsigmond 
Füzet: 1896/január, 73 - 75. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az A1A2A3A4 tetraäder egy tetszés szerint vett éle. pl. A1A2¯=a, ez él mellett fekvő lapszöge A, s az A1A2A3 és A1A4A2 lapokban a közös a éllel szembenfekvő élszögek A1A3A2=α, illetőleg A1A4A2=α'.
Fektessünk az A1A2¯ él A felező pontjában rá merőleges síkot, mely geometriai helye mindazoknak a pontoknak, melyek A1 és A2 csúcsoktól egyenlő távolságban vannak. E sík kivágja az A lapszöget s keresztülmegy egyszersmind az A1A2A3 és A1A4A2 lapok köré írható körök középpontjain. Legyenek O1 és O2 az említett körök középpontjai, melyekben a lapjaikra emelt merőlegesek a keresett gömb O középpontjában találkoznak, mert e pont származásánál fogva, valamennyi csúcstól egyenlő távolságban van.
Az OAA1 derékszögű háromszögből

OA1¯2=OA¯2+AA1¯2(1)
hol: OA1¯=r a gömb keresett sugara:
AA1¯=a2
föltétel szerint és OA az OO2AO1 négyszög köré írható kör átmérője, mert e négyszögnek O2 és O1-nél lévő szögei, származásuknál fogva derékszögek, minél fogva:
OA¯2=OO2¯2+O2A¯2=OO1¯2+O1A¯2(2)
Bocsássunk O2-ből O1A-ra merőlegest, melynek talppontja H, és O-ból O2H-ra egy másikat, melynek talppontja K. Látni való, hogy; O2KOΔO2HAΔ és így: OO2K=A, tehát:
OO2¯=OK¯sinA=O1H¯sinA

Ámde O1H¯=O1A¯-HA¯=O1A¯-O2A¯cosA, mely érték helyettezésével
OO2¯=O1A¯-O2AcosAsinA

Ha ez értéket (2)-be tesszük és összevonunk:
OA¯2=O1A¯2+O2A¯2-2O1A¯O2A¯cosAsin2A(2a)

Ez értéket (1)-be téve és tekintve, hogy
O1A¯=a2cotα,O2A¯=a2cotα',ered:
r2=a24sin2A(sin2A+cot2α+cot2α'-2cotαcotα'cosA)(1a)
honnan:
r=a2sinA(sin2A+cot2α+cot2α'-2cotαcotα'cosA).
a keresett gömbsugár meghatározására szolgáló képlet a felvett adatokból. Ez adatok természetesen nem határozzák meg a tetraädert, mert csak két egymást az "a" közös húrvégpontjaiban metsző gömbkört és lapjaik hajlásszögét tartalmazzák, tehát mindazon tetraäderek köré írható gömb sugarát adják, mely tatraäderek már két csúcsa e gömbkörök kerületében lehet. A képlet nemcsak számításra, hanem szerkesztésre is alkalmas. E czélból kössük össze A1 pontot O1 és O2-vel. Az összekötő egyenesek vágják a megfelelő köröket A3' és A4' pontokban. A származott új tetraäderben már a él merőleges az A'3A2A' lapra az elébbi adatok változatlanul maradván. és
A2A3'=acotαésA2A4'=acotα'
A'3A'4¯2=a2cot2α+a2cot2α'-2a2cotαcotα'cosA,
mely érték helyettezésével:
r2=14(a2+A'3A'4¯2sin2A)

Ha most A'3A'4-et A2 pontban a A'3A2A'4 síkjához AA'3-re merőlegesen felrakjuk szabad végpontján át A2A4-tel párhuzamost húzunk, ennek A2A4'-tel való metszéspontja oly X pont, melynek A1-gyel való összeköttetése
A'X¯=2r.

Egyéb iránt a szerkesztés (1) alapján is eszközölhető.
A (2a) egyenlőségből kitűnik, hogy az elébbiekben említett OO2A1O négyszögnek s így mindazoknak, melyeknek két szemben fekvő szöge derékszög, átlói közt ez összefüggés áll:
O1O2¯=OA¯sinA,
mert (2a) a jobb oldalán a számláló tényleg:
O1O2¯2=O1A¯2+O2A¯2-2O1A¯O2A¯cosA.
 

Maksay Zsigmond.