Kezdőlap


Cím:	A tetraeder köré írható gömb sugarának meghatározása 1.
Szerző(k):	Maksay Zsigmond
Füzet:	1896/január, 73 - 75. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ tetraäder egy tetszés szerint vett éle. pl. $\bar{A_{1} A_{2}} = a,$ ez él mellett fekvő lapszöge $A$ , s az $A_{1} A_{2} A_{3}$ és $A_{1} A_{4} A_{2}$ lapokban a közös $a$ éllel szembenfekvő élszögek $A_{1} A_{3} A_{2} = α,$ illetőleg $A_{1} A_{4} A_{2} = α' .$
Fektessünk az $\bar{A_{1} A_{2}}$ él $A$ felező pontjában rá merőleges síkot, mely geometriai helye mindazoknak a pontoknak, melyek $A_{1}$ és $A_{2}$ csúcsoktól egyenlő távolságban vannak. E sík kivágja az $A$ lapszöget s keresztülmegy egyszersmind az $A_{1} A_{2} A_{3}$ és $A_{1} A_{4} A_{2}$ lapok köré írható körök középpontjain. Legyenek $O_{1}$ és $O_{2}$ az említett körök középpontjai, melyekben a lapjaikra emelt merőlegesek a keresett gömb $O$ középpontjában találkoznak, mert e pont származásánál fogva, valamennyi csúcstól egyenlő távolságban van.
Az $O A A_{1}$ derékszögű háromszögből

\begin{matrix} {\bar{O A_{1}}}^{2} = {\bar{O A}}^{2} + {\bar{A A_{1}}}^{2} \end{matrix}

(1)

hol:

\bar{O A_{1}} = r

a gömb keresett sugara:

\begin{matrix} \bar{A A_{1}} = \frac{a}{2} \end{matrix}

föltétel szerint és

O A

O O_{2} A O_{1}

négyszög köré írható kör átmérője, mert e négyszögnek

O_{2}

és

O_{1}

-nél lévő szögei, származásuknál fogva derékszögek, minél fogva:

\begin{matrix} {\bar{O A}}^{2} = {\bar{O O_{2}}}^{2} + {\bar{O_{2} A}}^{2} = {\bar{O O_{1}}}^{2} + {\bar{O_{1} A}}^{2} \end{matrix}

(2)

Bocsássunk

O_{2}

-ből

O_{1} A

-ra merőlegest, melynek talppontja

H

, és

O

-ból

O_{2} H

-ra egy másikat, melynek talppontja

K

. Látni való, hogy;

O_{2} K O Δ \sim O_{2} H A Δ

és így:

O O_{2} K = A

, tehát:

\begin{matrix} \bar{O O_{2}} = \frac{\bar{O K}}{sin A} = \frac{\bar{O_{1} H}}{sin A} \end{matrix}

Ámde

\bar{O_{1} H} = \bar{O_{1} A} - \bar{H A} = \bar{O_{1} A} - \bar{O_{2} A} cos A

, mely érték helyettezésével

\begin{matrix} \bar{O O_{2}} = \frac{\bar{O_{1} A} - O_{2} A cos A}{sin A} \end{matrix}

Ha ez értéket

(2)

-be tesszük és összevonunk:

\begin{matrix} {\bar{O A}}^{2} = \frac{{\bar{O_{1} A}}^{2} + {\bar{O_{2} A}}^{2} - 2 \bar{O_{1} A} \cdot \bar{O_{2} A} cos A}{sin^{2} A} \end{matrix}

(2a)

Ez értéket

(1)

-be téve és tekintve, hogy

\begin{matrix} \bar{O_{1} A} = \frac{a}{2} cot α, \bar{O_{2} A} = \frac{a}{2} cot α', ered : \end{matrix}

\begin{matrix} r^{2} = \frac{a^{2}}{4 sin^{2} A} (sin^{2} A + cot^{2} α + cot^{2} α' - 2 cot α cot α' cos A) \end{matrix}

(1a)

honnan:

\begin{matrix} r = \frac{a}{2 sin A} \sqrt[]{(sin^{2} A + cot^{2} α + cot^{2} α' - 2 cot α cot α' cos A)} . \end{matrix}

a keresett gömbsugár meghatározására szolgáló képlet a felvett adatokból. Ez adatok természetesen nem határozzák meg a tetraädert, mert csak két egymást az

" a "

közös húrvégpontjaiban metsző gömbkört és lapjaik hajlásszögét tartalmazzák, tehát mindazon tetraäderek köré írható gömb sugarát adják, mely tatraäderek már két csúcsa e gömbkörök kerületében lehet. A képlet nemcsak számításra, hanem szerkesztésre is alkalmas. E czélból kössük össze

A_{1}

pontot

O_{1}

és

O_{2}

-vel. Az összekötő egyenesek vágják a megfelelő köröket

A_{3}'

és

A_{4}'

pontokban. A származott új tetraäderben már

a

él merőleges az

A'_{3} A_{2} A'

lapra az elébbi adatok változatlanul maradván. és

\begin{matrix} A_{2} A_{3}' = a \cdot cot α és A_{2} A_{4}' = a \cdot cot α' \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{A'_{3} A'_{4}}}^{2} = a^{2} cot^{2} α + a^{2} cot^{2} α' - 2 a^{2} cot α cot α' cos A, \end{matrix}

mely érték helyettezésével:

\begin{matrix} r^{2} = \frac{1}{4} (a^{2} + \frac{{\bar{A'_{3} A'_{4}}}^{2}}{sin^{2} A}) \end{matrix}

Ha most

A'_{3} A'_{4}

-et

A_{2}

pontban a

A'_{3} A_{2} A'_{4}

síkjához

A A'_{3}

-re merőlegesen felrakjuk szabad végpontján át

A_{2} A_{4}

-tel párhuzamost húzunk, ennek

A_{2} A_{4}'

-tel való metszéspontja oly

X

pont, melynek

A_{1}

-gyel való összeköttetése

\begin{matrix} \bar{A' X} = 2 r . \end{matrix}

Egyéb iránt a szerkesztés

(1)

alapján is eszközölhető.
A

(2 a)

egyenlőségből kitűnik, hogy az elébbiekben említett

O O_{2} A_{1} O

négyszögnek s így mindazoknak, melyeknek két szemben fekvő szöge derékszög, átlói közt ez összefüggés áll:

\begin{matrix} \bar{O_{1} O_{2}} = \bar{O A} sin A, \end{matrix}

mert

(2 a)

a jobb oldalán a számláló tényleg:

\begin{matrix} {\bar{O_{1} O_{2}}}^{2} = {\bar{O_{1} A}}^{2} + {\bar{O_{2} A}}^{2} - 2 \bar{O_{1} A} \cdot \bar{O_{2} A} cos A . \end{matrix}

Maksay Zsigmond.