Kezdőlap


Feladat:	B.5042	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bán-Szabó Áron
Füzet:	2020/december, 537. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/szeptember: B.5042

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B$ és $C D$ szakaszok felezőmerőlegesei messék egymást a $K$ pontban. A $K$ pont biztosan létezik, hiszen ellenkező esetben $A B ∥ C D$ , viszont a feltétel szerint $A B C D$ nem trapéz.

Egy szakasz felezőmerőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van a szakasz két végpontjától, így

K A = K B

és

K C = K D

. Azt is tudjuk, hogy

A C = B D

, így az

A K C

és

B K D

háromszögekben az oldalak páronként egyenlő hosszúak, azaz a két háromszög egybevágó. Az egybevágóság alapján

K A M ∢ = K A C ∢ = K B D ∢ = K B M ∢

. A kerületi szögek tételének megfordítása miatt az

A

B

K

és

M

pontok egy körön vannak. Hasonlóan azonnal látható, hogy a

C

D

M

K

pontok is egy körön vannak.
Ezzel beláttuk, hogy az

(A B M)

és

(C D M)

körök második metszéspontja a

K

pont.
Az

A K C

és

B K D

háromszögek egybevágóságából következően a

K

pont ugyanolyan messze van az

A C

és

B D

egyenesektől, tehát mindenképpen rajta van az

A C

és

B D

egyenesek egyik szögfelezőjén. Ez a szög nem lehet az

A M B ∢ = C M D ∢

szög, hiszen az

A M K B

és

D M K C

húrnégyszögek, tehát konvexek.
A

K

pont így biztosan a

B M C

szög felezőjére illeszkedik.

Bán-Szabó Áron (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.)

dolgozata alapján