Kezdőlap


Feladat:	F.2400	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Böröczky L. , Csillag P. , Danyi P. , Erdős 228 L. , Fodor Gy. , Fóris Z. , Hegedűs T. , Hetyei G. , Horváth Á. , Hraskó A. , Katona Gy. , Kerner Anna , Megyesi G. , Mócsy M. , Nyikes P. , Pásztor L. , Peták T. , Pybor B. , Réz A. , S. Fülöp T. , Simon P. , Strausz György , Szabó Cs. , Szabó T. , Szapudi I. , Szemák Á. , Tóth G. , Törőcsik J. , Varga K. , Virányi L.
Füzet:	1983/november, 119. oldal		PDF \| MathML
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/március: F.2400

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a minimalizálandó összeget $E$ , és próbáljuk $E$ -t négyzetösszeggé alakítani. Az

\begin{matrix} x^{2} + x y + y^{2} = 3 / 4 {(x + y)}^{2} + 1 / 4 {(x - y)}^{2} \end{matrix}

azonosságot először az

x = a

y = b

, majd az

x = c

y = d

szereposztással alkalmazva

\begin{matrix} E = 3 / 4 {(a + b)}^{2} + 3 / 4 {(c + d)}^{2} + 1 / 4 {(a - b)}^{2} + 1 / 4 {(c - d)}^{2} . \end{matrix}

Legyen

a + b = P

c + d = Q

a - b = R

c - d = S

. Ezekkel a jelölésekkel

\begin{matrix} E = 3 / 4 P^{2} + 3 / 4 Q^{2} + 1 / 4 R^{2} + 1 / 4 S^{2}, \end{matrix}

és az

a d - b c = 1

feltétel az

R Q - P S = 2

feltétellel ekvivalens. Ez utóbbit felhasználva,

E

-t tovább alakítjuk:

\begin{matrix} E = 3 / 4 P^{2} + 1 / 4 S^{2} + \sqrt[]{3} / 2 P S + 3 / 4 Q^{2} + 1 / 4 R^{2} - \sqrt[]{3} / 2 R Q + \sqrt[]{3} / 2 (R Q - P S) = \\ = {(\sqrt[]{3} / 2 P + 1 / 2 S)}^{2} + {(\sqrt[]{3} / 2 Q - 1 / 2 R)}^{2} + \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Innen látszik, hogy

E \geq \sqrt[]{3}

hiszen

E

két négyzetszám és

\sqrt[]{3}

összege. Az egyenlőség el is érhető az

S = - \sqrt[]{3} P

R = \sqrt[]{3} Q

választással,

P^{2} + Q^{2} = 2 / \sqrt[]{3}

esetén az

R Q - P S = 2

feltétel is teljesül. Így

E

minimuma

\sqrt[]{3}

Strausz György (Budapest, József A. Gimn., III. o. t.)