Feladat: F.2400 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Böröczky L. ,  Csillag P. ,  Danyi P. ,  Erdős 228 L. ,  Fodor Gy. ,  Fóris Z. ,  Hegedűs T. ,  Hetyei G. ,  Horváth Á. ,  Hraskó A. ,  Katona Gy. ,  Kerner Anna ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Nyikes P. ,  Pásztor L. ,  Peták T. ,  Pybor B. ,  Réz A. ,  S. Fülöp T. ,  Simon P. ,  Strausz György ,  Szabó Cs. ,  Szabó T. ,  Szapudi I. ,  Szemák Á. ,  Tóth G. ,  Törőcsik J. ,  Varga K. ,  Virányi L. 
Füzet: 1983/november, 119. oldal  PDF file
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/március: F.2400

Mennyi az a2+b2+c2+d2+ab+cd kifejezés minimuma, ha a, b, c, d olyan valós számok, amelyekre ad-bc=1?
 
(Az 1983/1 füzet 30. oldalán levő CMF2400 feladat módosítása.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a minimalizálandó összeget E, és próbáljuk E-t négyzetösszeggé alakítani. Az

x2+xy+y2=3/4(x+y)2+1/4(x-y)2
azonosságot először az x=a, y=b, majd az x=c, y=d szereposztással alkalmazva
E=3/4(a+b)2+3/4(c+d)2+1/4(a-b)2+1/4(c-d)2.
Legyen a+b=P, c+d=Q, a-b=R, c-d=S. Ezekkel a jelölésekkel
E=3/4P2+3/4Q2+1/4R2+1/4S2,
és az ad-bc=1 feltétel az RQ-PS=2 feltétellel ekvivalens. Ez utóbbit felhasználva, E-t tovább alakítjuk:
E=3/4P2+1/4S2+3/2PS+3/4Q2+1/4R2-3/2RQ+3/2(RQ-PS)==(3/2P+1/2S)2+(3/2Q-1/2R)2+3.


Innen látszik, hogy E3 hiszen E két négyzetszám és 3 összege. Az egyenlőség el is érhető az S=-3P, R=3Q választással, P2+Q2=2/3 esetén az RQ-PS=2 feltétel is teljesül. Így E minimuma 3.
 

 Strausz György (Budapest, József A. Gimn., III. o. t.)