Feladat: 5129. fizika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bokor Endre ,  Elek Péter ,  Fiam Regina ,  Olosz Adél ,  Sal Dávid ,  Vaszary Tamás 
Füzet: 2019/november, 503. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Kölcsönös indukció
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2019/április: 5129. fizika feladat

Egy r sugarú, N menetszámú, igen hosszú, n=N/ menetsűrűségű szolenoidot az ábrán látható módon egy R sugarú körvezetővel vettünk körül. Mekkora értéket mutat a szolenoid végpontjai közé kapcsolt ideális voltmérő, ha a körvezetőbe időben egyenletesen, I(t)=αt módon változó áramot vezetünk?
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A körvezető által gerjesztett mágneses mező megadása és az általa a szolenoidban indukált feszültség közvetlen kiszámítása igen nehéz feladat lenne. Szerencsére erre nincs is szükség, helyette elegendő a kölcsönös indukciós együtthatók szimmetriatulajdonságát kihasználni.
A vezetőnek a szolenoidra vonatkozó kölcsönös indukció együtthatója ugyanakkora, mint a szolenoidnak a körvezetőre vonatkozó kölcsönös indukció együtthatója. Másképp fogalmazva: a körvezető időben változó erősségű árama ugyanakkora feszültséget indukál a szolenoidban, mint a szolenoid időben változó erősségű árama indukál a körvezetőben; feltéve, hogy a változás ,,sebessége'' ugyanakkara. A második eset kiszámolása nyilván sokkal egyszerűbb feladat.
Ha a hosszú szolenoidban I erősségű áram folyik, és a külső (,,szórt'') mágneses tér elhanyagolható, akkor a szolenoid belsejében, a végektől elegendően távol homogén mágneses tér alakul ki, és az indukcióvektor nagysága az AmpŠre-féle gerjesztési törvény értelmében: B=μ0NI, vagyis B=μ0nI.
Mivel a körvezető sugara sokkal kisebb, mint a szolenoid hossza, a szolenoidon kívüli tér járuléka a körlapon áthaladó mágneses fluxushoz elhanyagolható, elegendő a tekercs belsejében lévő mágneses mező fluxusával foglalkoznunk. Ennek nagysága

Φ=r2πμ0nIMI.
Látjuk, hogy a kölcsönös indukció együtthatója (ami definíció szerint az egységnyi erősségű áramhoz tartozó mágneses fluxus): M=μ0r2πn.
Miután kiszámítottuk M értékét, megadhatjuk a voltmérő által mutatott feszültség nagyságát is. Az áramerősség helyére I(t)=αt kifejezést írva és alkalmazva Faraday indukciótörvényét, megkapjuk a keresett feszültséget:
U=MΔI(t)Δt=MΔ(αt)Δt=Mα=μ0r2πnα.
Ez a feszültség ‐ jó közelítéssel ‐ független R-től, ha az -nél sokkal kisebb.
 

 Bokor Endre (Budapesti Fazekas M . Gyak. Ált. Isk. és Gimn. 10. évf.)