Feladat:	5099. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bokor Endre ,  Hisham Mohammed Alhalki
Füzet:	2019/április, 247 - 249. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb kényszermozgás, Tapadó súrlódás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/január: 5099. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Tekintsük az 1. ábrán látható módon az $\alpha$ szöggel jellemzett helyen a kocsira ható erőket, és bontsuk fel ezeket sugárirányú (radiális) és érintőirányú (tangenciális) összetevőkre! (A körpálya középpontja irányába mutató radiális vektorkomponenseket, illetve az óramutató járásával ellentétes irányú tangenciális komponenseket tekintjük pozitívnak.) Ha a kocsi állandó $v_0$ sebességgel mozog, a mozgásegyenletei: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle mg\text{cos}\alpha -F_{\text{t}}}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \frac{m{v}_0^2}{R}}& {\displaystyle =N+mg\text{sin}\alpha \mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$   1. ábra   (Itt $F_{\text{t}}$ a kocsira ható tapadó súrlódási erő, $N$ pedig a sínek által kifejtett radiális nyomóerő.) Mivel a csúszásmentesség feltétele $|F_{\text{t}}|\le \mu N\mathrm{,}$ (1) és (2) alapján fennáll: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu mg|\text{cos}\alpha |\le \mu \frac{m{v}_0^2}{R}-\mu mg\text{sin}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ vagyis   $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu \frac{v_0^2}{Rg}\ge \mu \text{sin}\alpha +|\text{cos}\alpha |\mathrm{.}}\end{array}$ (4)   A továbbiakban ($\text{cos}\alpha$ előjelétől függően) két esetet kell vizsgálnunk. 1. Ha $\text{cos}\alpha >\mathrm{0,}$ vagyis a kocsi a motorját használva a pálya jobb oldali részén felfelé halad, akkor   $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu \frac{v_0^2}{Rg}\ge \mu \text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ (5)   A súrlódási együtthatót érdemes $\mu =\text{tg}\epsilon$ alakban felírni ($\epsilon$ az ún. súrlódási határszög), mert ennek segítségével (5) így írható:   $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{v_0^2}{Rg}\frac{\text{sin}\epsilon }{\text{cos}\epsilon }\ge \frac{\text{sin}\epsilon }{\text{cos}\epsilon }\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$   azaz   $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{v_0^2}{Rg}\cdot \text{sin}\epsilon \ge \text{sin}\alpha \text{sin}\epsilon +\text{cos}\alpha \text{cos}\epsilon \equiv \text{cos}\left(\alpha -\epsilon \right)\mathrm{.}}\end{array}$ (6)   Ennek az egyenlőtlenségnek minden $-{90}^{\circ }\le \alpha \le {90}^{\circ }$ szögre, így $\alpha =\epsilon$ esetén is fenn kell állnia. Ekkor a csúszásmentes mozgás sebességére a   $\begin{array}{c}{\displaystyle v_0\ge \sqrt[]{\frac{Rg}{\text{sin}\epsilon }}=\sqrt[]{Rg\sqrt[]{\frac{\text{cos}{}^2\epsilon +\text{sin}{}^2\epsilon }{\text{sin}{}^2\epsilon }}}=\sqrt[]{Rg\sqrt[]{\frac{1}{{\mu }^2}+1}}}\end{array}$ (7)   alsó korlátot kapjuk. Ha ez a feltétel éppen nem teljesül, akkor a hullámvasút kocsija az ${\alpha }_{\text{1.krit.}}=\epsilon =\text{arctg}\mu$ kritikus helyzet közelében megcsúszik. 2. Ha $\text{cos}\alpha <\mathrm{0,}$ vagyis a kocsi a fékeit használva a pálya bal oldali részén lefelé halad, akkor   $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu \frac{v_0^2}{Rg}\ge \mu \text{sin}\alpha -\text{cos}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ (8)   vagyis   $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{v_0^2}{Rg}\text{sin}\epsilon \ge \text{sin}\alpha \text{sin}\epsilon -\text{cos}\alpha \text{cos}\epsilon \equiv -\text{cos}\left(\alpha +\epsilon \right)\mathrm{.}}\end{array}$ (6)   Ennek az egyenlőtlenségnek minden ${90}^{\circ }\le \alpha \le {270}^{\circ }$ szögre, így $\alpha ={180}^{\circ }-\epsilon$ esetén is fenn kell állnia. Ekkor a sebességre ismét a (7)-nek megfelelő alsó korlátot kapjuk. Ha ez a feltétel éppen nem teljesül, akkor a hullámvasút kocsija az   $\begin{array}{c}{\displaystyle {\alpha }_{\text{2.krit.}}={180}^{\circ }-\epsilon ={180}^{\circ }-\text{arctg}\mu }\end{array}$   kritikushelyzetközelébenmegcsúszik.     Bokor Endre (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján   II. megoldás. Írjuk le a mozgást a hullámvasút kocsijában ülő ember vonatkoztatási rendszerében. Ebben a rendszerben az összesen $m$ tömegű, $\omega$ szögsebességgel mozgó kocsira állandó $mR{\omega }^2$ nagyságú és mindig ,,lefelé'' (a kör középpontjával ellentétes irányba) mutató ,,centrifugális erő'', valamint egy $mg$ nagyságú, de változó irányú (egyenletesen körbeforduló) nehézségi erő hat (2. ábra). Ezen két erő $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">F</span></span>}$ eredőjével tart egyensúlyt a sínek által kifejtett $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">N</span></span>}+\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">S</span></span>}$ erő, amelynek a ,,felfelé'' iránnyal bezárt $\alpha$ szöge legfeljebb $\text{arctg}\mu$ lehet, hiszen $|\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">S</span></span>}|\le \mu |\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">N</span></span>}|$.       2. ábra   A 2. ábrán látható, hogy $\alpha$ legnagyobb értékét akkor veszi fel, amikor a centrifugális erő és a nehézségi erő vektora derékszögű háromszöget határoz meg, és $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}{\alpha }_{\text{max}}=\frac{mg}{\sqrt[]{{\left(mR{\omega }^2\right)}^2-{\left(mg\right)}^2}}\le \mu \mathrm{.}}\end{array}$ Innen kapjuk, hogy a kocsi sebessége: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_0=R\omega \ge \sqrt[]{Rg\sqrt[]{\frac{1}{{\mu }^2}+1}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha a sebesség a kritikus értéknél egy kicsit kisebb, a kocsi a pálya azon pontjánál csúszik meg, ahol kör középpontjából nézve a vízszintessel bezárt szög éppen $\text{arctg}\mu$.   Hisham Mohammed Almalki (Rijád, Manarat Al-Riyadh School, 11. évf.)