Feladat: 5099. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bokor Endre ,  Hisham Mohammed Alhalki 
Füzet: 2019/április, 247 - 249. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Egyéb kényszermozgás, Tapadó súrlódás
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2019/január: 5099. fizika feladat

Egy hullámvasút kocsija egy függőleges síkban fekvő, kör alakú pályán halad úgy, hogy a saját motorját és fékjét használva a sebességét állandó értéken tartja. Legalább mekkora sebességet kell tartania ahhoz, hogy az R sugarú pályán megcsúszás nélkül tudjon végighaladni, ha a tapadó súrlódás együtthatója μ? Hol csúszna meg, ha a sebessége ennél kicsit kisebb lenne? A kocsi elég kicsi a pálya sugarához képest.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Tekintsük az 1. ábrán látható módon az α szöggel jellemzett helyen a kocsira ható erőket, és bontsuk fel ezeket sugárirányú (radiális) és érintőirányú (tangenciális) összetevőkre! (A körpálya középpontja irányába mutató radiális vektorkomponenseket, illetve az óramutató járásával ellentétes irányú tangenciális komponenseket tekintjük pozitívnak.)
Ha a kocsi állandó v0 sebességgel mozog, a mozgásegyenletei:
mgcosα-Ft=0,(1)mv02R=N+mgsinα.(2)


 

1. ábra
 
(Itt Ft a kocsira ható tapadó súrlódási erő, N pedig a sínek által kifejtett radiális nyomóerő.) Mivel a csúszásmentesség feltétele |Ft|μN, (1) és (2) alapján fennáll:
μmg|cosα|μmv02R-μmgsinα,
vagyis
 
μv02Rgμsinα+|cosα|.(4)
 

A továbbiakban (cosα előjelétől függően) két esetet kell vizsgálnunk.
1. Ha cosα>0, vagyis a kocsi a motorját használva a pálya jobb oldali részén felfelé halad, akkor
 
μv02Rgμsinα+cosα.(5)
 
A súrlódási együtthatót érdemes μ=tgε alakban felírni (ε az ún. súrlódási határszög), mert ennek segítségével (5) így írható:
 
v02Rgsinεcosεsinεcosεsinα+cosα,
 
azaz
 
v02Rgsinεsinαsinε+cosαcosεcos(α-ε).(6)
 
Ennek az egyenlőtlenségnek minden -90α90 szögre, így α=ε esetén is fenn kell állnia. Ekkor a csúszásmentes mozgás sebességére a
 
v0Rgsinε=Rgcos2ε+sin2εsin2ε=Rg1μ2+1(7)
 
alsó korlátot kapjuk. Ha ez a feltétel éppen nem teljesül, akkor a hullámvasút kocsija az α1.krit.=ε=arctgμ kritikus helyzet közelében megcsúszik.
2. Ha cosα<0, vagyis a kocsi a fékeit használva a pálya bal oldali részén lefelé halad, akkor
 
μv02Rgμsinα-cosα,(8)
 
vagyis
 
v02Rgsinεsinαsinε-cosαcosε-cos(α+ε).(6)
 
Ennek az egyenlőtlenségnek minden 90α270 szögre, így α=180-ε esetén is fenn kell állnia. Ekkor a sebességre ismét a (7)-nek megfelelő alsó korlátot kapjuk. Ha ez a feltétel éppen nem teljesül, akkor a hullámvasút kocsija az
 
α2.krit.=180-ε=180-arctgμ
 
kritikushelyzetközelébenmegcsúszik.
 
 
Bokor Endre (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.)
dolgozata alapján
 

II. megoldás. Írjuk le a mozgást a hullámvasút kocsijában ülő ember vonatkoztatási rendszerében. Ebben a rendszerben az összesen m tömegű, ω szögsebességgel mozgó kocsira állandó mRω2 nagyságú és mindig ,,lefelé'' (a kör középpontjával ellentétes irányba) mutató ,,centrifugális erő'', valamint egy mg nagyságú, de változó irányú (egyenletesen körbeforduló) nehézségi erő hat (2. ábra).
Ezen két erő F eredőjével tart egyensúlyt a sínek által kifejtett N+S erő, amelynek a ,,felfelé'' iránnyal bezárt α szöge legfeljebb arctgμ lehet, hiszen |S|μ|N|.
 

 
 
2. ábra
 

A 2. ábrán látható, hogy α legnagyobb értékét akkor veszi fel, amikor a centrifugális erő és a nehézségi erő vektora derékszögű háromszöget határoz meg, és
tgαmax=mg(mRω2)2-(mg)2μ.
Innen kapjuk, hogy a kocsi sebessége:
v0=RωRg1μ2+1.

Ha a sebesség a kritikus értéknél egy kicsit kisebb, a kocsi a pálya azon pontjánál csúszik meg, ahol kör középpontjából nézve a vízszintessel bezárt szög éppen arctgμ.
 
Hisham Mohammed Almalki (Rijád, Manarat Al-Riyadh School, 11. évf.)