Kezdőlap


Feladat:	B.4945	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kupás Vendel Péter , Schifferer András
Füzet:	2019/január, 24 - 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Négyzetszámok tulajdonságai, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/március: B.4945

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mértani sorozat összegképletének többszöri alkalmazásával juthatunk az összeg zárt alakjához:

\begin{matrix} 1 \cdot 2^{0} + 2 \cdot 2^{1} + 3 \cdot 2^{2} + ... + n \cdot 2^{n - 1} = \\ = & (2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + ... + 2^{n - 1}) + (2^{1} + 2^{2} + ... + 2^{n - 1}) + \\ + (2^{2} + ... + 2^{n - 1}) + ... + (2^{n - 1}) = \\ = & (2^{n} - 1) + (2^{n} - 2) + (2^{n} - 2^{2}) + ... + (2^{n} - 2^{n - 1}) = \\ = & n \cdot 2^{n} - (1 + 2 + 2^{2} + ... + 2^{n - 1}) = n \cdot 2^{n} - (2^{n} - 1) = \\ = & (n - 1) \cdot 2^{n} + 1. \end{matrix}

Ezzel a feladat követelménye a következő alakot ölti:

\begin{matrix} (n - 1) \cdot 2^{n} + 1 & = k^{2}, azaz \\ (n - 1) \cdot 2^{n} & = k^{2} - 1 = (k + 1) \cdot (k - 1) . \end{matrix}

Itt az azonos paritású

(k + 1)

és

(k - 1)

szorzata páros lévén mindkét szám páros, és mivel a különbségük 2, azért valamelyikük nem osztható 4-gyel. Tehát vagy

k + 1 = 2^{n - 1} t

(ahol

t

páratlan) és

k - 1 = 2 \cdot \frac{n - 1}{t}

, vagy

k + 1 = 2 s

(ahol

s

páratlan) és

k - 1 = 2^{n - 1} \cdot \frac{n - 1}{s}

. Az első esetben

\begin{matrix} 2 & = (k + 1) - (k - 1) = 2^{n - 1} t - 2 \cdot \frac{n - 1}{t}, \\ 2 t & = 2^{n - 1} t^{2} - 2 (n - 1), \\ n - 1 & = t (2^{n - 2} t - 1) \geq 2^{n - 2} - 1. \end{matrix}

A másik esetben hasonlóan

\begin{matrix} 2 & = (k + 1) - (k - 1) = 2 s - 2^{n - 1} \cdot \frac{n - 1}{s}, \\ 2 s & = 2 s^{2} - 2^{n - 1} (n - 1), \\ 2^{n - 2} (n - 1) & = s^{2} - s = s (s - 1), \end{matrix}

amiből (mivel

s

páratlan lévén osztója

(n - 1)

-nek)

s (s - 1) < {(n - 1)}^{2}

, és így

2^{n - 2} < n - 1

következik. Ennek alapján

n \geq 2^{n - 2}

, ami csak

n \leq 4

esetén teljesül. Az

n

számára szóbajövő négy értéket kipróbálva csak

n = 1

és

n = 4

felel meg; előbbire

(n - 1) \cdot 2^{n} + 1 = 1^{2}

, utóbbira pedig

(n - 1) \cdot 2^{n} + 1 = 7^{2}

Schifferer András (Kaposvári Táncsics Mihály Gimn., 12. évf.) és
Kupás Vendel Péter (Gyöngyös, Berze Nagy János Gimn., 12. évf.)
megoldását felhasználva