Feladat: B.4945 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kupás Vendel Péter ,  Schifferer András 
Füzet: 2019/január, 24 - 25. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Négyzetszámok tulajdonságai, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2018/március: B.4945

Határozzuk meg azokat az n pozitív egészeket, amelyekre
120+221+322+...+n2n-1
négyzetszám.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mértani sorozat összegképletének többszöri alkalmazásával juthatunk az összeg zárt alakjához:

120+221+322+...+n2n-1==(20+21+22+...+2n-1)+(21+22+...+2n-1)++(22+...+2n-1)+...+(2n-1)==(2n-1)+(2n-2)+(2n-22)+...+(2n-2n-1)==n2n-(1+2+22+...+2n-1)=n2n-(2n-1)==(n-1)2n+1.
Ezzel a feladat követelménye a következő alakot ölti:
(n-1)2n+1=k2,azaz(n-1)2n=k2-1=(k+1)(k-1).
Itt az azonos paritású (k+1) és (k-1) szorzata páros lévén mindkét szám páros, és mivel a különbségük 2, azért valamelyikük nem osztható 4-gyel. Tehát vagy k+1=2n-1t (ahol t páratlan) és k-1=2n-1t, vagy k+1=2s (ahol s páratlan) és k-1=2n-1n-1s. Az első esetben
2=(k+1)-(k-1)=2n-1t-2n-1t,2t=2n-1t2-2(n-1),n-1=t(2n-2t-1)2n-2-1.
A másik esetben hasonlóan
2=(k+1)-(k-1)=2s-2n-1n-1s,2s=2s2-2n-1(n-1),2n-2(n-1)=s2-s=s(s-1),
amiből (mivel s páratlan lévén osztója (n-1)-nek) s(s-1)<(n-1)2, és így 2n-2<n-1 következik. Ennek alapján n2n-2, ami csak n4 esetén teljesül. Az n számára szóbajövő négy értéket kipróbálva csak n=1 és n=4 felel meg; előbbire (n-1)2n+1=12, utóbbira pedig (n-1)2n+1=72.
 

Schifferer András (Kaposvári Táncsics Mihály Gimn., 12. évf.) és
Kupás Vendel Péter (Gyöngyös, Berze Nagy János Gimn., 12. évf.)
megoldását felhasználva