Feladat: 2018. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Matolcsi Dávid 
Füzet: 2018/november, 451 - 452. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, Számsorok, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2018/szeptember: 2018. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata

Legyen a1,a2,... pozitív egészeknek egy végtelen sorozata. Tegyük fel, hogy van egy olyan N>1 egész, hogy minden nN-re
a1a2+a2a3+...+an-1an+ana1
egész szám. Bizonyítsuk be, hogy van egy olyan M pozitív egész, hogy am=am+1 minden mM-re.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Matolcsi Dávid megoldása. S(n)-nek nevezem a feladatban definiált összeget. N<n-re S(n) és S(n+1) is egész, így
S(n+1)-S(n)=anan+1+an+1-ana1
is mindig egész.
Legyen (a1,an)=x és a1=xa1', illetve an=xan'. Ekkor
a1'(S(n+1)-S(n))=xan'a1'an+1+an+1x-an'
egész szám. Tehát
xan'a1'an+1+an+1x
is egész.
Legyen most (an+1,x)=y és an+1=yan+1', illetve x=yx'. Így
xan'a1'an+1+an+1x=an'a1'an+1'+an+1'x'=x'an'a1'+an+1'2x'an+1'
egész. Tehát x'an+1'2. Másrészt tudjuk, hogy (an+1',x')=1. Ez csak úgy lehetséges, ha x'=1, tehát x=y, azaz xan+1.
Ezzel általánosan beláttuk, hogy (a1,ak)ak+1. Másrészt értelemszerűen (a1,ak)a1, így (a1,ak)(a1,ak+1).
Teljes indukció szerint tehát ha k<t, akkor (a1,ak)(a1,at).
Mivel a1-nek csak véges sok osztója van, az (a1,at) sorozat pedig végtelen és monoton növekvő, létezik egy r korlát, amitől kezdve minden (at,a1)=x egyenlő. Így ettől kezdve minden at=xat', ahol (at',a1')=1 (ahol a1=xa1'). Ekkor
atat+1+at+1-ata1=at'at+1'+at+1'-at'a1'=at'a1'+at+1'2-at'at+1'at+1'a1'
egész.
Ez azt jelenti, hogy at+1'at'a1'. Mivel (at+1',a1')=1, ezért at+1'at'. Ez az r korláttól kezdve folyamatosan igaz, így at'ar' és az at' sorozat monoton csökkenő. Mivel ar'-nek csak véges sok osztója van, a végtelen at' sorozatnak egy M korlát után minden eleme egyenlő lesz.
Így M<m-re minden am=xam' is egyenlő lesz, ezzel az állítást beláttuk.