|
Feladat: |
B.4946 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Dobák Dániel , Döbröntei Dávid Bence , Gáspár Attila , Janzer Orsolya Lili , Kerekes Anna , Póta Balázs , Schrettner Jakab , Szabó Dávid , Szabó Kornél , Weisz Máté |
Füzet: |
2018/október,
413 - 415. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Valós együtthatós polinomok, Konstruktív megoldási módszer, Maradékos osztás, kongruenciák, Oszthatóság |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2018/március: B.4946 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az polinom együtthatói racionális számok; ennek okára a megjegyzésben térünk vissza. Tegyük fel, hogy -nek van nem egész racionális együtthatója. Legyen | | ahol egészek, valamint és relatív prímek bármilyen -re. Legyen olyan pozitív egész, amelynek 10-es számrendszerbeli alakja 1-re végződik. Ekkor biztosan 8-ra, pedig 5-re végződik, vagyis és is egész. Két 6-ra végződő szám szorzata is 6-ra végződik, egy 6-ra és egy 8-ra végződő szám szorzata pedig 8-ra. Így minden pozitív egészre 6-ra végződik. Ezért is 8-ra végződik, tehát egész. Az 5 hatványai mindig 5-re végződnek, ezért is egész. Tekintsük a szorzatot, és osszuk el a legnagyobb 2-hatvány osztójával, majd a legnagyobb 5-hatvány osztójával is. Az így kapott páratlan, 5-tel nem osztható egész számot jelölje , azaz Az -t bármelyik együttható nevezőjével (-vel) osztva olyan törtet kapunk, amelynek egyszerűsített nevezője csak 2-vel vagy 5-tel osztható a prímek közül, vagy a kapott hányados egész. Az utolsó számjegyétől függően adjuk meg a egészet a következőképpen: Ha ez a számjegy 1, akkor legyen . Ha 3, akkor 1-re végződik, így legyen . Ha 7, akkor legyen . Ha 9, akkor pedig legyen . Így mindenképpen 1-re végződik, és vagy egész vagy olyan tört, amelynek a nevezője nem osztható 2-től és 5-től különböző prímmel. A fentiek alapján egész. Vizsgáljuk ennek az összegnek egy, -tól különböző tagját. A tört egyszerűsítése után a nevezőben csak 5-hatvány maradhat, mivel legfeljebb -nel osztható. Így olyan törtek összege, amelyek nevezőjében 5-hatványok állnak. Mivel egész, azért is vagy egész, vagy olyan tört, amelynek nevezője 5-hatvány. is egész a fentiek alapján. Vizsgáljuk ennek az összegnek is egy, -tól különböző tagját. Az egyszerűsítés után a nevezőben itt csak 2-hatvány maradhat, mivel legfeljebb -nel osztható. Tehát olyan törtek összege, amelyek nevezőjében 2-hatvány áll. Mivel egész, is egész vagy olyan tört, aminek nevezője 2-hatvány. A két eredményt összevetve szükségképpen egész. Az polinom teljesíti a feladat feltételeit: ha vagy alakú szám, ahol (nemnegatív) egész, akkor és egészek, viszont nem egész. Póta Balázs (Győr, Révai Miklós Gimn., 11. évf.) és Schrettner Jakab (Szeged, Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, 11. évf.) megoldását felhasználva Megjegyzés. Az interpoláció tétele szerint, ha páronként különböző, pedig tetszőleges valós számok, akkor létezik pontosan egy olyan legfeljebb -edfokú polinom, amelyre minden -re. Világos, hogy két különböző és polinom nem létezhet ezekkel a tulajdonságokkal, hiszen akkor a különbségük olyan, legfeljebb -edfokú, nem azonosan nulla polinom lenne, amelynek az számok mindegyike gyöke. Ez azonban lehetetlen, mivel egy nemnulla polinomnak legfeljebb annyi gyöke lehet, mint a polinom foka. Másrészt legyen | | ahol mindegyik | | -edfokú polinom -ban 1-et, az összes többi -ben pedig nullát vesz fel. Az így előállított polinom tehát megfelelő. Az eme alakjából látszik, hogy az együtthatói az , számokból véges sok összeadás, kivonás, szorzás és osztás alkalmazásával kaphatók meg; ebből speciálisan következik, hogy ha az , számok valamennyien racionálisak, akkor együtthatói is azok. A feladatban szereplő polinom fokát jelölje . Az interpoláció tételét alkalmazhatjuk -re, -ra és -ra, ahol ; ezek a számok egészek lévén racionálisak, ezért az általuk egyértelműen meghatározott együtthatói is azok.
Póta Balázs (Győr, Révai Miklós Gimn., 11. évf.) és Schrettner Jakab (Szeged, Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, 11. évf.) megoldását felhasználva |
|