A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Janzer Orsolya Lili megoldása. Tegyük fel, hogy van ilyen háromszög. Mivel egy ilyen, 2018 soros háromszögnek éppen mezője van, minden egésznek 1-től -ig pontosan egyszer kellene szerepelnie benne. Legyen az -edik sorban a legnagyobb, pedig a legkisebb szám. Most tegyük fel, hogy , és vegyük a közvetlenül alatt lévő számokat. Legyenek ezek a számok és . Feltehető, hogy ezek közül . Így . Mivel és , kapjuk, hogy (). Így minden -ra Ebből, mivel , Tehát felírható 2018 különböző pozitív egész összegeként, így , ezért , és egy permutációja az számoknak. Következik továbbá, hogy minden egyenlőtlenség egyenlőséggel teljesül, azaz minden esetén Most legyen minden szám ,,kicsi'', továbbá minden szám ,,nagy''. Mivel az számok permutációja, minden sorban pontosan egy kicsi szám lesz. Ha , akkor:
vagyis az -edik sorban nem lehet egyetlen ,,nagy'' szám sem. Ha , akkor legyen egy nagy szám az -edik sorban. Legyenek a számok közvetlenül alatt és ; feltehető, hogy . Így , és ; mivel ,,nagy'' ( ), , vagyis kicsi. Így , azaz közvetlenül fölött van. Így legfeljebb kettő ,,nagy'' szám lehet az -edik sorban. Tehát legfeljebb nagy szám van a sorokban összesen, a legalsót kivéve. Mivel összesen ,,nagy'' szám van, legalább ,,nagy'' szám van a legalsó sorban, ezért legfeljebb ,,nem-nagy'' van abban a sorban. A legalsó sorban 2018 szám, így 2017 szomszédos számpár van. Ha figyelmen kívül hagyjuk a közvetlenül az alatti számpárt, és a legfeljebb 250 számpárt, amiben van ,,nem-nagy'', akkor még mindig marad olyan szomszédos pár, aminek minkét tagja ,,nagy'', és nem közvetlenül az alatt van. Viszont a két ,,nagy'' szám különbsége kicsi, és megtalálható a -edik sorban, így az -tel együtt már kettő ,,kicsi'' szám is lenne abban a sorban, ami ellentmondás. Tehát nem létezik ilyen anti-Pascal háromszög. A megoldás forrása: https://artofproblemsolving.com. |